Question

如圖①，在長為6厘米，寬為3厘米的矩形PQMN中，有兩張邊長分別為二厘米和一厘米的正方形紙片ABCD和EFGH，且BC且在PQ上，PB=1厘米，PF=

1

2

厘米，從初始時刻開始，紙片ABCD沿PQ以2厘米每秒的速度向右平移，同時紙片EFGH沿PN以1厘米每秒的速度向上平移，當C點與Q點重合時，兩張圖片同時停止移動，設平移時間為t秒時，（如圖②），紙片ABCD掃過的面積為S₁，紙片EFGH掃過的面積為S₂，AP，PG，GA所圍成的圖形面積為S（這里規(guī)定線段面積為零，掃過的面積含紙片面積）．解答下列問題：
（1）當t=

1

2

時，PG=

 

，PA=

 

時，PA

 

PG+GA（填=或≠）；
（2）求S與t之間的關系式；
（3）請?zhí)剿魇欠翊嬖趖值（t＞

1

2

），使S₁+S₂=4S+5．若存在，求出t值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）PG=

12+12

=

2

，PA=

22+22

=2

2

，AG=

12+12

=

2

，∴PA=PG+GA．
（2）由（1）得當t=0.5時，G在AP上，那么可分G在△APB內(nèi)和△APB外兩種情況進行解答．
（3）按等量關系列出等式，根據(jù)t的取值范圍得到所求．

解答：解：（1）當t=

1

2

時，PG=

2

，PA=2

2

，此時PA=PG+GA；（各1分）

（2）①當0≤t≤0.5時，連接GB

S_△APG=S_△APB-S_△PGB-S_△AGB
=

1

2

×2（2t+1）-

1

2

（2t+1）（t+0.5）-

1

2

×2×2t
=-t²-t+

3

4

（2分）
②當0.5＜t≤1.5時，過A作AK⊥PN于K，連接KG

S_△APG=S_△APK-S_△PGK-S_△AGK
=

1

2

×2（2t+1）-

1

2

（2t+1）（1.5-t）-

1

2

×1×2
=t²+t-

3

4

（2分）

（3）存在
S₁=2（2t+2）=4t+4，S₂=t+1（1分）
若S₁+S₂=4S+5，則
4t+4+t+1=4（t²+t-

3

4

）+5，即4t²-t-3=0（1分）
∴t₁=-

3

4

（舍去），t₂=1（1分）
即當t=1時，S₁+S₂=4S+5．

點評：本題考查運動過程中面積的變化形式．注意掃過的面積應是原來正方形的面積+掃過矩形的面積．