Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=kx+3與軸、軸分別相交于點(diǎn)A、B，并與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)是點(diǎn)．

（1）求k和b的值；

（2）點(diǎn)G是軸上一點(diǎn)，且以點(diǎn)、C、為頂點(diǎn)的三角形與△相似，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；

（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)E：它關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)F恰好在y軸上．如果存在，直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)，如果不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】(1)k=-,b=1;(2) (0,1)和

【解析】分析：（1） 由直線經(jīng)過點(diǎn)，可得．由拋物線的對稱軸是直線，可得，進(jìn)而得到A、B、D的坐標(biāo)，然后分兩種情況討論即可；

（3）設(shè)E（a，），E關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)E′為（0，b），EE′與AB的交點(diǎn)為P．則EE′⊥AB，P為EE′的中點(diǎn)，列方程組，求解即可得到a的值，進(jìn)而得到答案．

詳解：（1） 由直線經(jīng)過點(diǎn)，可得．

由拋物線的對稱軸是直線，可得．

∵直線與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)、，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是．

∵拋物線的頂點(diǎn)是點(diǎn)，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是．

∵點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，∴設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是．

∵△BCG與△BCD相似，又由題意知，，

∴△BCG與△相似有兩種可能情況：

①如果，那么，解得，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是．

②如果，那么，解得，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是．

綜上所述：符合要求的點(diǎn)有兩個，其坐標(biāo)分別是和 ．

（3）設(shè)E（a，），E關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)E′為（0，b），EE′與AB的交點(diǎn)為P，則EE′⊥AB，P為EE′的中點(diǎn)，∴ ，整理得：，∴(a-2)(a+1)=0，解得：a=－1或a=2．

當(dāng)a=－1時，=；

當(dāng)a=2時，=；

∴點(diǎn)的坐標(biāo)是或．