Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中點(diǎn)，⊙O經(jīng)過A、B、D三點(diǎn)，CB的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E.

(1)    求證AE=CE；

(2)    EF與⊙O相切于點(diǎn)E，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若CD=CF=2cm，求⊙O的直徑；

   （3）若 （n>0），求sin∠CAB.

Answer 1

證明：（1）連接DE，∵∠ABC=90°∴∠ABE=90°，

∴AE是⊙O直徑．

∴∠ADE=90°，∴DE⊥AC．

又∵D是AC的中點(diǎn)，∴DE是AC的垂直平分線．

∴AE=CE．

（2）在△ADE和△EFA中，

∵∠ADE=∠AEF=90°，∠DAE=∠FAE，

∴△ADE∽△EFA．

∴，

∴．                                  

∴AE=2cm．

（3） ∵AE是⊙O直徑，EF是⊙O的切線，∴∠ADE=∠AEF=90°，

∴Rt△ADE∽R(shí)t△EDF．　　　∴．

∵，AD=CD，∴CF=nCD，∴DF=（1+n）CD， ∴DE=CD．

在Rt△CDE中，CE=CD+DE=CD+（CD） =（n+2）CD．

∴CE=CD．

∵∠CAB=∠DEC，∴sin∠CAB=sin∠DEC ===．