Question

如圖1，點A是直線y=kx（k＞0，且k為常數(shù)）上一動點，以A為頂點的拋物線y=（x-h）²+m交直線y=kx于另一點E，交y軸于點F，拋物線的對稱軸交x軸于點B，交直線EF于點C．（點A，E，F(xiàn)兩兩不重合）
（1）請寫出h與m之間的關(guān)系；（用含的k式子表示）
（2）當點A運動到使EF與x軸平行時（如圖2），求線段AC與OF的比值；
（3）當點A運動到使點F的位置最低時（如圖3），求線段AC與OF的比值．

Answer 1

（1）∵拋物線頂點（h，m）在直線y=kx上，
∴m=kh；

（2）方法一：解方程組

y=(x-h)2+kh(1) y=kx(2)

，
將（2）代入（1）得到：（x-h）²+kh=kx，
整理得：（x-h）[（x-h）-k]=0，
解得：x₁=h，x₂=k+h，
代入到方程（2）y₁=hy₂=k²+hk，
所以點E坐標是（k+h，k²+hk），
當x=0時，y=（x-h）²+m=h²+kh，
∴點F坐標是（0，h²+kh），
當EF和x軸平行時，點E，F(xiàn)的縱坐標相等，
即k²+kh=h²+kh，
解得：h=k（h=-k舍去，否則E，F(xiàn)，O重合），
此時點E（2k，2k²），F(xiàn)（0，2k²），C（k，2k²），A（k，k²），
∴AC：OF=k²：2k²=1：2．（3分）
方法二：當x=0時，y=（x-h）²+m=h²+kh，即F（0，h²+kh），
當EF和x軸平行時，點E，F(xiàn)的縱坐標相等，
即點E的縱坐標為h²+kh，
當y=h²+kh時，代入y=（x-h）²+kh，
解得x=2h（0舍去，否則E，F(xiàn)，O重合），
即點E坐標為（2h，h²+kh），（1分）
將此點橫縱坐標代入y=kx得到h=k（h=0舍去，否則點E，F(xiàn)，O重合），
此時點E（2k，2k²），F(xiàn)（0，2k²），C（k，2k²），A（k，k²），
∴AC：OF=k²：2k²=1：2．
方法三：∵EF與x軸平行，
根據(jù)拋物線對稱性得到FC=EC，
∵AC∥FO，
∴∠ECA=∠EFO，∠FOE=∠CAE，
∴△OFE∽△ACE，
∴AC：OF=EC：EF=1：2．

（3）當點F的位置處于最低時，其縱坐標h²+kh最小，
∵h²+kh=[h²+kh+（

k

2

）²]-

k2

4

，
當h=-

k

2

，點F的位置最低，此時F（0，-

k2

4

），
解方程組

y=(x+ k 2 )2- k2 2 y=kx

得E（

k

2

，

k2

2

），A（-

k

2

，-

k2

2

）．
方法一：設(shè)直線EF的解析式為y=px+q，
將點E（

k

2

，

k2

2

），F(xiàn)（0，-

k2

4

）的橫縱坐標分別代入得

k2 2 = k 2 p+q - k2 4 =q

，
解得：p=

3

2

k，q=-

1

4

k2，
∴直線EF的解析式為y=

3

2

kx-

1

4

k2，
當x=-

k

2

時，y=-k²，即點C的坐標為（-

k

2

，-k²），
∵點A（-

1

2

k，-

k2

2

），
∴AC=

k2

2

，而OF=

1

4

k2，
∴AC=2OF，即AC：OF=2．
方法二：∵E（

k

2

，

k2

2

），A（-

k

2

，-

k2

2

），
∴點A，E關(guān)于點O對稱，
∴AO=OE，
∵AC∥FO，
∴∠ECA=∠EFO，∠FOE=∠CAE，
∴△OFE∽△ACE，
∴AC：OF=AE：OE=2：1．