Question

已知一個三角形的周長和面積分別是84、210，一個單位圓在它的內(nèi)部沿著三邊勻速無摩擦地滾動一周后回到原來的位置（如圖），則這個三角形的內(nèi)部以及邊界沒有被單位圓滾過的部分的面積是______（結(jié)果保留準(zhǔn)確值）．

Answer 1

如圖；
設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為R，△DEF的內(nèi)切圓半徑為r；
依題意有：

1

2

×84×R=210，即R=5；
易知：△DEF∽△ABC，且r：R=4：5，
∴C_△DEF=

4

5

C_△ABC=67.2；
易知：被圓滾過的三角形內(nèi)部的三角形也和△ABC相似；
且其內(nèi)切圓半徑為：R-2=3，即其面積=(

3

5

)2S_△ABC=75.6；
由圖知：S_{四邊形AHDG}=2S_△AGD=AG•1=AG，同理S_{四邊形PEQB}=BQ，S_{四邊形CNFM}=CM；
∴S_{四邊形AHDG}+S_{四邊形PEQB}+S_{四邊形CNFM}=AG+CM+BQ=

1

2

（C_△ABC-C_△DEF）=8.4；
而S_扇形DHG+S_扇形PEQ+S_扇形FMN=S_單位圓=π，
∴所求的面積=75.6+8.4-π=84-π．