【題目】在圖1﹣﹣圖4中,菱形ABCD的邊長為3,∠A=60°,點M是AD邊上一點,且DM= AD,點N是折線AB﹣BC上的一個動點.

(1)如圖1,當(dāng)N在BC邊上,且MN過對角線AC與BD的交點時,則線段AN的長度為
(2)當(dāng)點N在AB邊上時,將△AMN沿MN翻折得到△A′MN,如圖2,
①若點A′落在AB邊上,則線段AN的長度為;
②當(dāng)點A′落在對角線AC上時,如圖3,求證:四邊形AM A′N是菱形;
③當(dāng)點A′落在對角線BD上時,如圖4,求 的值.

【答案】
(1)
(2)1,解:②在菱形ABCD中,AC平分∠DAB,∵∠DAB=60°,∴∠DAC=∠CAB=30°,∵△AMN沿MN翻折得到△A′MN,∴AC⊥MN,AM=A′M,AN=A′N,;∴∠AMN=∠ANM=60°,∴AM=AN,∴AM=A′M=AN=A′N,∴四邊形AM A′N是菱形;,③在菱形ABCD中,AB=AD,∴∠ADB=∠ABD=60°,∴∠BA′M=∠DMA′+∠ADB,∴A′M=AM=2,∠NA′M=∠A=60°,∴∠NA′B=∠DMA′,∴△DMA′∽△BA′N,∴ = ,∵M(jìn)D= AD=1,A′M=2,∴ =
【解析】解:(1)如圖1,

過點N作NG⊥AB于G,

∵四邊形ABCD是菱形,

∴AD∥BC,OD=OB,

= =1,

∴BN=DM= AD=1,

∵∠DAB=60°,

∴∠NBG=60°

∴BG= ,GN= ,

∴AN= = =

故答案為: ;

( 2 )①當(dāng)點A′落在AB邊上,則MN為AA′的中垂線,

∵∠DAB=60°AM=2,

∴AN= AM=1,

故答案為:1;

(1)過點N作NG⊥AB于G,構(gòu)造直角三角形,根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AD∥BC,OD=OB,∠NBG=60° ,根據(jù)平行線分線段成比例定理得出DM∶BN=OD∶OB=1,從而得出BN=DM=1 ,利用含30°的直角三角形的邊的關(guān)系得出BG、GN的長,利用勾股定理解決問題;
(2)①利用線段中垂線的性質(zhì)得到MN⊥AA',利用含30°的直角三角形的邊的關(guān)系得出AN的長;
②利用菱形的性質(zhì)得到對角線平分每一組對角,得到∠DAC=∠CAB=30°,根據(jù)翻折的性質(zhì)得到AC⊥MN,AM=A′M,AN=A′N,∠AMN=∠ANM=60°,AM=AN,AM=A′M=AN=A′N,四邊形AM A′N是菱形
③根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AB=AD,∠ADB=∠ABD=60°,求得∠NA′M=∠DMA′+∠ADB,證得A′M=AM=2,∠NA′M=∠A=60°,得到∠NA′B=∠DMA′,從而判斷出△DMA′∽△BA′N,利用相似三角形對應(yīng)邊成比例得到結(jié)果.

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A.
B.
C.
D.

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