Question

【題目】如圖1，等腰梯形OABC的底邊OC在x軸上，AB∥OC，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA = AB =BC，∠AOC=60°，連接OB，點(diǎn)P為線段OB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E為邊OC中點(diǎn).

（1）連接PA.PE，求證：PA=PE；

（2）連接PC，若PC+PE=2，試求AB的最大值；

（3）在（2）在條件下，當(dāng)AB取最大值時(shí)，如圖2，點(diǎn)M坐標(biāo)為（0，－1），點(diǎn)D為線段OC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)D點(diǎn)從O點(diǎn)向C點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，直線MD與梯形另一邊交點(diǎn)為N，設(shè)D點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，當(dāng)△MNC為鈍角三角形時(shí)，求m的范圍.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）AB的最大值為2；（3）當(dāng)0<m< 或<m<4時(shí)，△MNC為鈍角三角形.

【解析】

（1）連接AE，先證明∠ABO=∠BOC，再證明△OAE為等邊三角形即可得證；

（2）由PC+PE=2，可知PC+PA=2.根據(jù)三角形三邊關(guān)系OB=AC≤PC+PA，列不等式即可；

（3）當(dāng)AB取最大值時(shí)，AB=OA=BC=2，OC=4.分三種情況討論：①當(dāng)N點(diǎn)在OA上時(shí)，如圖2，若CN⊥MN時(shí)，此時(shí)線段OA上N點(diǎn)下方的點(diǎn)（不包括N、O）均滿足△MNC為鈍角三角形。

②當(dāng)N點(diǎn)在AB上時(shí)，不能滿足△MNC為鈍角三角形；@當(dāng)N點(diǎn)在BC上時(shí)，如圖3，若CN⊥MN時(shí)，此時(shí)BC上N點(diǎn)下方的點(diǎn)（不包括N、C）均滿足△MNC為鈍角三角形.

解：（1）證明：如圖1，連接AE.

∵OA=AB..∠A0B=∠ABO.

∴AB∥OC，∠ABO=∠BOC.

∴∠AOC=60°，∠A0B=∠BOC=30°，∠0BC=90°

∵E為OC的中點(diǎn)，∴OC=2BC=2OA；△OAE為等邊三角形

∴OB垂直平分線段AE

∴PA=PE.

(2)∵PC+PE= ，∴PC+PA=.

顯然有OB=AC≤PC+PA=

在Rt△BOC中,設(shè)AB=OA=BC=x，則OC=2x，OB=，

∴≤，∴≤2.

即AB的最大值為2.

(3) 當(dāng)AB取最大值時(shí)，AB=OA=BC=2，OC=4.

分三種情況討論：

①當(dāng)N點(diǎn)在OA上時(shí)，如圖2，若CN⊥MN時(shí)，此時(shí)線段OA上N點(diǎn)下方的點(diǎn)（不包括N.O）均滿足△MNC為鈍角三角形.

過N作NF⊥x軸，垂足為F，

∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，），∴ 可設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（a，a），

則DF=a－m，NF=a，FC=4－a.

∵△OMD∽△FND∽△FCN，

∴ .

解得， ，即當(dāng)0<m<時(shí)，△MNC為鈍角三角形

②當(dāng)N點(diǎn)在AB上時(shí)，不能滿足△MNC為鈍角三角形；

③當(dāng)N點(diǎn)在BC上時(shí)，如圖3，若CN⊥MN時(shí)，此時(shí)BC上N點(diǎn)下方的點(diǎn)（不包括N.C）均滿足△MNC為鈍角三角形.

∵OB⊥BC, CN⊥MN,. MN//OB.

∴∠ODM=∠BOC=30°

∴ OM=1,. OD=m=.

∴當(dāng)<m<4時(shí)，△MNC為鈍角三角形.

綜上所述，當(dāng)0<m<或<m<4時(shí)，△MNC為鈍角三角形.