Question

Rt△ABC在直角坐標系內的位置如圖1所示，反比例函數y=

k

x

(k≠0)在第一象限內的圖象與BC邊交于點D（4，m），與AB邊交于點E（2，n），△BDE的面積為2．
（1）求m與n的數量關系；
（2）當tan∠A=

1

2

時，求反比例函數的解析式和直線AB的表達式；
（3）設直線AB與y軸交于點F，點P在射線FD上，在（2）的條件下，如果△AEO與△EFP相似，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）將D（4，m）、E（2，n）代入反比例函數y=

k

x

解析式，進而得出n，m的關系；
（2）利用△BDE的面積為2，得出m的值，進而得出D，E，B的坐標，利用待定系數法求出一次函數與反比例函數關系式即可；
（3）利用△AEO與△EFP 相似存在兩種情況，分別利用圖形分析得出即可．

解答：解：（1）∵D（4，m）、E（2，n）在反比例函數y=

k

x

的圖象上，
∴

4m=k 2n=k.

整理，得n=2m．；

（2）如圖1，過點E作EH⊥BC，垂足為H．
在Rt△BEH中，tan∠BEH=tan∠A=

1

2

，
EH=2，所以BH=1．
因此D（4，m），E（2，2m），B（4，2m+1）．
已知△BDE的面積為2，
所以

1

2

BD•EH=

1

2

(m+1)×2=2．
解得m=1．
因此D（4，1），E（2，2），B（4，3）．
因為點D（4，1）在反比例函數y=

k

x

的圖象上，
所以k=4．
因此反比例函數的解析式為y=

4

x

．    
設直線AB的解析式為y=kx+b，代入B（4，3）、E（2，2），
得

3=4k+b 2=2k+b.

解得：

k= 1 2 b=1

．
因此直線AB的函數解析式為y=

1

2

x+1． 

（3）因為直線y=

1

2

x+1與y軸交于點F（0，1），點D的坐標為（4，1），
所以FD∥x軸，∠EFP=∠EAO．
因此△AEO與△EFP 相似存在兩種情況：
①如圖2，當

EA

AO

=

EF

FP

時，

2 5

2

=

5

FP

解得FP=1．此時點P的坐標為（1，1）．
②如圖3，當

EA

AO

=

FP

EF

時，

2 5

2

=

FP

5

．
解得FP=5．
此時點P的坐標為（5，1）．
綜上所述，P點坐標為：（1，1），（5，1）．

點評：此題主要考查了反比例函數的綜合應用以及待定系數法求出一次函數解析式和相似三角形的判定等知識，根據已知得出△AEO與△EFP相似包括兩種情況是解題關鍵．