Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C，已知A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）.

（1）求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若P為線段BC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)D，當(dāng)△BCD面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）若M（m，0）是軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)求出CM+MB的最小值以及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）P（，），面積最大為；（3）CM+MB最小值為，M（，0）

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法即可求得此拋物線的解析式；（2）由待定系數(shù)法即可求得直線BC的解析式，設(shè)P（a，a-3），得出PD的長(zhǎng)，列出S△BDC的表達(dá)式，化簡(jiǎn)成頂點(diǎn)式，即可求解；

（3）取G點(diǎn)坐標(biāo)為（0，），過(guò)M點(diǎn)作MB′⊥BG，用B′M代替BM，即可得出最小值的情況，再將直線BG、直線B′C的解析式求出，求得M點(diǎn)坐標(biāo)和∠CGB的度數(shù)，再根據(jù)∠CGB的度數(shù)利用三角函數(shù)得出最小值B′C的值.

解：（1）∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C，A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），

代入表達(dá)式，解得a= 1，b=-2，c=-3，

∴故該拋物線解析式為：.

（2）令，
∴x1=-1，x2=3，
即B（3，0），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b′，將B、C代入得：k=,1，b′=-3，

∴直線BC的解析式為y=x-3，

設(shè)P（a，a-3），則D（a，a2-2a-3），

∴PD=（a-3）-（a2-2a-3）= -a2+3a

S△BDC=S△PDC+S△PDB

=PD×3

=，

∴當(dāng)a=時(shí)，△BDC的面積最大，且為為，此時(shí)P（，）；

（3）如圖，取G點(diǎn)坐標(biāo)為（0，），連接BG，

過(guò)M點(diǎn)作MB′⊥BG，∴B′M＝BM，

當(dāng)C、M、B′在同一條直線上時(shí)，CM+MB最小.

可求得直線BG解析式為：，

∵B′C⊥BG

故直線B′C解析式為為，

令y=0，則x=，

∴B′C與x軸交點(diǎn)為（，0）

∵OG=，OB=3，

∴∠CGB=60°，

∴B′C= CGsin∠CGB==，

綜上所述：CM+MB最小值為，此時(shí)M（，0）.