Question

【題目】已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M(1，0)，直線(xiàn)與該二次函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，4)，B點(diǎn)在軸上．

（1）求m的值及這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

（2）若P(，0) 是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作軸的垂線(xiàn)分別與直線(xiàn)AB和二次函數(shù)的圖象交于D、E兩點(diǎn)．

①當(dāng)0<< 3時(shí)，求線(xiàn)段DE的最大值；

②若直線(xiàn)AB與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交點(diǎn)為N，問(wèn)是否存在一點(diǎn)P，使以M、N、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1) ； (2)①有最大值②存在.（2，0）（，0）（，0）.

【解析】

（1）將A點(diǎn)坐標(biāo)分別代入拋物線(xiàn)的直線(xiàn)，便可求出拋物線(xiàn)的解析式和m的值；

（2）過(guò)A作AH⊥PM于H，利用△MAB的面積=S梯形BOHA-S△BOM-S△AMH計(jì)算即可；

（3）①線(xiàn)段DE的長(zhǎng)為h，根據(jù)P點(diǎn)坐標(biāo)分別求出DE兩點(diǎn)坐標(biāo)，便可求出h與a之間的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而可求出線(xiàn)段DE的最大值；

②存在一點(diǎn)P，使以M、N、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，要使四邊形NMED是平行四邊形，必須DE=MN=2，由①知DE=|-a2+3a|，進(jìn)而求出a的值，所以P的坐標(biāo)可求出．

（1）設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a（x-1）2，

∵點(diǎn)A（3，4）在拋物線(xiàn)上，則4=a（3-1）2，

解得a=1，

∴拋物線(xiàn)的解析式為y=（x-1）2

∵點(diǎn)A（3，4）也在直線(xiàn)y=x+m，即4=3+m，

解得m=1；

（2）過(guò)A作AH⊥PM于H，

∵B（0，1），M（1，0），A（3，4），

∴OB=1，OH=3，AH=4，

∴△MAB的面積=S梯形BOHA-S△BOM-S△AMH=7.5-×1×1-×2×4=3；

（3）①已知P點(diǎn)坐標(biāo)為P（a，0），則E點(diǎn)坐標(biāo)為E（a，a2-2a+1），D點(diǎn)坐標(biāo)為D（a，a+1），

h=DE=yD-yE=a+1-（a2-2a+1）=-a2+3a，

∴h與a之間的函數(shù)關(guān)系式為h=-a2+3a=-（a-）2+（0＜a＜3），

∴線(xiàn)段DE的最大值是；

②存在一點(diǎn)P，使以M、N、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

理由是∵M（1，0），

∴把x=1代入y=x+1得：y=2，

即N（1，2），

∴MN=2，

要使四邊形NMED是平行四邊形，必須DE=MN=2，

由①知DE=|-a2+3a|，

∴2=|-a2+3a|，

解得：a1=2，a2=1，a3=，a4=，

∴（2，0），（1，0）（因?yàn)楹?/span>M重合，舍去）（，0），（，0）

∴P的坐標(biāo)是（2，0），（，0），（，0）．