Question

【題目】已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y= x+6與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A、B兩點(diǎn)，將∠OBA對(duì)折，使點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H落在直線AB上，折痕交x軸于點(diǎn)C．

（1）直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）若（1）中拋物線的頂點(diǎn)為D，在直線BC上是否存在點(diǎn)P，使得四邊形ODAP為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；
（3）若把（1）中的拋物線向左平移3.5個(gè)單位，則圖象與x軸交于F、N（點(diǎn)F在點(diǎn)N的左側(cè)）兩點(diǎn)，交y軸于E點(diǎn)，則在此拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q到E、N兩點(diǎn)的距離之差最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：連接CH，

由軸對(duì)稱得CH⊥AB，BH=BO，CH=CO

∴在△CHA中由勾股定理，得

AC2=CH2+AH2

∵直線y= x+6與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A、B兩點(diǎn)，

∴當(dāng)x=0時(shí)，y=6，當(dāng)y=0時(shí)，x=8

∴B（0，6），A（8，0）

∴OB=6，OA=8，

在Rt△AOB中，由勾股定理，得

AB=10

設(shè)C（a，0），∴OC=a

∴CH=a，AH=4，AC=8﹣a，在Rt△AHC中，

由勾股定理，得

（8﹣a）2=a2+42解得

a=3

C（3，0）

設(shè)拋物線的解析式為：y=ax2+bx+c，由題意，得

解得：

∴拋物線的解析式為：y= x2 +6，

∴y=

（2）

解：由（1）的結(jié)論，得

D（ ，﹣ ）

∴DF= ，

設(shè)BC的解析式為：y=kx+b，則有

解得：

直線BC的解析式為：y=﹣2x+6

設(shè)存在點(diǎn)P使四邊形ODAP是平行四邊形，P（m，n）

作PE⊥OA于E，HD交OA于F．

∴∠PEO=∠AFD=90°，PO=DA，PO∥DA

∴∠POE=∠DAF

∴△OPE≌△ADF

∴PE=DF=n= ，

∴ =﹣2x+6

∴

P（ ， ）

當(dāng)x= 時(shí)，

y=﹣2× +6=1≠

∴點(diǎn)P不再直線BC上，即直線BC上不存在滿足條件的點(diǎn)P

（3）

解：由題意得，平移后的解析式為：

y= （x﹣2）2

∴對(duì)稱軸為：x=2，

當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣

當(dāng)y=0時(shí)，0= （x﹣2）2

解得：x1= ；x2=

∵F在N的左邊

F（ ，0），E（0，﹣ ），N（ ，0）

連接EF交x=2于Q，設(shè)EF的解析式為：y=kx+b，則有

解得：

∴EF的解析式為：y=﹣ x﹣

∴

解得：

∴Q（2，﹣ ）．

【解析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱和角平分線的性質(zhì)以及勾股定理可以求出OC的長(zhǎng)度，從而求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．再根據(jù)直線的解析式求出A、B的坐標(biāo)，最后利用待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式．（2）根據(jù)（1）的解析式可以轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式而求出頂點(diǎn)坐標(biāo)D，利用B、C的坐標(biāo)求出BC的解析式，假設(shè)在直線BC上存在滿足條件的點(diǎn)P，利用平行四邊形的性質(zhì)和三角形全等的性質(zhì)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，得到點(diǎn)P不在直線BC上，而得出結(jié)論．（3）平移后根據(jù)（1）的解析式可以得到平移后的解析式，頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸，可以求出與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)F、N、E的坐標(biāo)，連接EF，根據(jù)E、F的坐標(biāo)求出其解析式，求出EF與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，就是Q點(diǎn)．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．