Question

如圖，已知直線y=-

1

2

x+1交坐標(biāo)軸于A、B點(diǎn)，以線段AB為邊向上作正方形ABCD，過點(diǎn)A、D、C的拋物線與直線的另一個(gè)交點(diǎn)為E．
（1）求點(diǎn)C、D的坐標(biāo)
（2）求拋物線的解析式
（3）若拋物線與正方形沿射線AB下滑，直至點(diǎn)C落在x軸上時(shí)停止，求拋物線上C、E兩點(diǎn)間的拋物線所掃過的面積．

Answer 1

分析：（1）分別過C、D兩點(diǎn)作x軸、y軸的垂線，利用三角形全等的關(guān)系可確定C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)A、C、D三點(diǎn)的坐標(biāo)求拋物線解析式；
（3）由平移的性質(zhì)可判斷線段CE所掃過的部分為平行四邊形，CC′為底，BC為高，由此求出C、E兩點(diǎn)間的拋物線所掃過的面積．

解答：解：（1）如圖，分別過C、D兩點(diǎn)作x軸、y軸的垂線，垂足為M、N，
由直線AB的解析式得AO=1，OB=2，
由正方形的性質(zhì)可證△ADN≌△BAO≌△CBM，
∴DN=BM=AO=1，AN=CM=BO=2，
∴C（3，2），D（1，3）；


（2）設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
將A（0，1），C（3，2），D（1，3）三點(diǎn)坐標(biāo)代入，得

c=1 9a+3b+c=2 a+b+c=3

，
解得

a=- 5 6 b= 17 6 c=1

，
∴y=-

5

6

x²+

17

6

x+1；

（3）∵AB=BC=

OA2+OB2

=

5

，
由△BCC′∽△AOB，得

BC

CC′

=

AO

OB

=

1

2

，
∴CC′=2BC=2

5

，
由割補(bǔ)法可知，拋物線上C、E兩點(diǎn)間的拋物線所掃過的面積=S_?CEE′C′=CC′×BC=2

5

×

5

=10，
即拋物線上C、E兩點(diǎn)間的拋物線所掃過的面積為10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，點(diǎn)的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求拋物線解析式及平移的性質(zhì)．關(guān)鍵是根據(jù)正方形的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形確定點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)平移的性質(zhì)判斷陰影部分圖形的形狀，根據(jù)圖形形狀求面積．