Question

【題目】已知拋物線過點(diǎn)，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，．

(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)過點(diǎn)A作，垂足為M，求證：四邊形ADBM為正方形；

(3)點(diǎn)P為拋物線在直線BC下方圖形上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(4)若點(diǎn)Q為線段OC上的一動(dòng)點(diǎn)，問：是否存在最小值？若存在，求岀這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】(1)拋物線的表達(dá)式為：，頂點(diǎn)；(2)證明見解析；(3)點(diǎn)；(4)存在，的最小值為．

【解析】

(1)設(shè)交點(diǎn)式，利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可；

(2)先證明四邊形ADBM為菱形，再根據(jù)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形即可得證；

(3)先求出直線BC的解析式，過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)N，根據(jù)可得關(guān)于x的二次函數(shù)，繼而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；

(4)存在，如圖，過點(diǎn)C作與y軸夾角為的直線CF交x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作，垂足為H，交y軸于點(diǎn)Q， 此時(shí)，則最小值，求出直線HC、AH的解析式即可求得H點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)行求得AH的長即可得答案.

(1)函數(shù)的表達(dá)式為：，

即：，解得：，

故拋物線的表達(dá)式為：，

則頂點(diǎn)；

(2)，，

∵A(1,0)，B(3,0)，∴ OB=3，OA=1，

∴AB=2，

∴，

又∵D(2，-1)，

∴AD=BD=，

∴AM=MB=AD=BD，

∴四邊形ADBM為菱形，

又∵，

菱形ADBM為正方形；

(3)設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，

將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入得：，

解得：，

所以直線BC的表達(dá)式為：y=-x+3，

過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)N，

設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)N，

則，

，故有最大值，此時(shí)，

故點(diǎn)；

(4)存在，理由：

如圖，過點(diǎn)C作與y軸夾角為的直線CF交x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作，垂足為H，交y軸于點(diǎn)Q，

此時(shí)，

則最小值，

在Rt△COF中，∠COF=90°，∠FOC=30°，OC=3，tan∠FCO=，

∴OF=，

∴F(-，0)，

利用待定系數(shù)法可求得直線HC的表達(dá)式為：…①，

∵∠COF=90°，∠FOC=30°，

∴∠CFO=90°-30°=60°，

∵∠AHF=90°，

∴∠FAH=90°-60°=30°，

∴OQ=AOtan∠FAQ=，

∴Q(0,)，

利用待定系數(shù)法可求得直線AH的表達(dá)式為：…②，

聯(lián)立①②并解得：，

故點(diǎn)，而點(diǎn)，

則，

即的最小值為．