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精英家教網已知：如圖，拋物線y=ax2+bx+c經過A（1，0）、B（5，0）、C（0，5）三點．
（1）求拋物線的函數關系式；
（2）若過點C的直線y=kx+b與拋物線相交于點E（4，m），請求出△CBE的面積S的值；
（3）在拋物線上求一點P0，使得△ABP0為等腰三角形，并寫出P0點的坐標；
附加：（4）除（3）中所求的P0點外，在拋物線上是否還存在其它的點P使得△ABP為等腰三角形？若存在，請求出一共有幾個滿足條件的點P（要求簡要說明理由，但不證明）；若不存在這樣的點P，請說明理由．
分析：（1）將已知三點的坐標代入拋物線的方程，可得abc的值，進而可得拋物線的方程；
（2）根據題意，易得直線的方程，進而可得D的坐標，最后代入可得△CBE的面積；
（3）根據二次函數的對稱性，易得答案；
（4）假設存在，以A、B為圓心半徑長為4畫圓，分析可得在拋物線上還存在其它的點P使得△ABP為等腰三角形．
解答：解：（1）∵拋物線經過點A（1，0）、B（5，0），
∴y=a（x-1）（x-5）．
又∵拋物線經過點C（0，5），
∴5a=5，a=1，
∴拋物線的解析式為y=（x-1）（x-5）=x2-6x+5．（3分）

（2）∵E點在拋物線上，精英家教網
∴m=42-4×6+5=-3．
∵直線y=kx+b過點C（0，5）、E（4，-3），
∴
b=5
4k+b=-3
，
解得k=-2，b=5．（7分）
設直線y=-2x+5與x軸的交點為D，
當y=0時，-2x+5=0，
解得x=
5
2
．
∴D點的坐標為（
5
2
，0）．（8分）
∴S=S△BDC+S△BDE
=
1
2
×(5-
5
2
)×5+
1
2
×(5-
5
2
)×3=10．（9分）

（3）∵拋物線的頂點P0（3，-4）既在拋物線的對稱軸上又在拋物線上，
∴點P0（3，-4）為所求滿足條件的點．（13分）

（4）除P0點外，在拋物線上還存在其它的點P使得△ABP為等腰三角形．（1分）
理由如下：
∵AP0=BP0=
22+42
=2
5
＞4，（2分）
∴分別以A、B為圓心半徑長為4畫圓，分別與拋物線交于點B、P1、P2、P3、A、P4、P5、P6，除去B、A兩個點外，其余6個點為滿足條件的點．
點評：本題考查學生將二次函數的圖象與解析式相結合處理問題、解決問題的能力．
練習冊系列答案
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科目：初中數學 來源： 題型：

已知：如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點，它們的橫坐標分別為-1和3，精英家教網與y軸交點C的縱坐標為3，△ABC的外接圓的圓心為點M．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）求圖象經過M、A兩點的一次函數解析式；
（3）在（1）中的拋物線上是否存在點P，使過P、M兩點的直線與△ABC的兩邊AB、BC的交點E、F和點B所組成的△BEF和△ABC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數學 來源： 題型：

已知：如圖，拋物線的頂點為點D，與y軸相交于點A，直線y=ax+3與y軸也交于點A，矩形ABCO的頂點B在精英家教網此拋物線上，矩形面積為12，
（1）求該拋物線的對稱軸；
（2）⊙P是經過A、B兩點的一個動圓，當⊙P與y軸相交，且在y軸上兩交點的距離為4時，求圓心P的坐標；
（3）若線段DO與AB交于點E，以點D、A、E為頂點的三角形是否有可能與以點D、O、A為頂點的三角形相似，如果有可能，請求出點D坐標及拋物線解析式；如果不可能，請說明理由．

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科目：初中數學 來源： 題型：

（2013•寧化縣質檢）已知：如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A（1-
3
，0）和點B，將拋物線沿x軸向上翻折，頂點P落在點P′（1，3）處．
（1）求原拋物線的解析式；
（2）在原拋物線上，是否存在一點，與它關于原點對稱的點也在該拋物線上？若存在，求滿足條件的點的坐標；若不存在，說明理由．
（3）學校舉行班徽設計比賽，九年級（5）班的小明在解答此題時頓生靈感：過點P′作x軸的平行線交拋物線于C、D兩點，將翻折后得到的新圖象在直線CD以上的部分去掉，設計成一個“W”型的班徽，“5”的拼音開頭字母為W，“W”圖案似大鵬展翅，寓意深遠；而且小明通過計算驚奇的發(fā)現這個“W”圖案的高與寬（CD）的比非常接近黃金分割比
5
-1
2
（約等于0.618）．請你計算這個“W”圖案的高與寬的比到底是多少？（參考數據：
5
≈2.236，
6
≈2.449，結果精確到0.001）

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科目：初中數學 來源： 題型：

已知，如圖，拋物線y=ax2-2ax+c（a≠0）與y軸交于點C（0，4），與x軸交于點A，B，點A的坐標為（4，0）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若點M在拋物線上，且△ABC與△ABM的面積相等，直接寫出點M的坐標；
（3）點Q是線段AB上的動點，過點Q作QE∥AC，交BC于點E，連接CQ．當△CQE的面積最大時，求點Q的坐標；
（4）若平行于x軸的動直線l與線段AC交于點F，點D的坐標為（2，0）．問：是否存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，請求出直線l的解析式；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數學 來源： 題型：

精英家教網已知，如圖，拋物線y=x2+px+q與x軸相交于A、B兩點，與y軸交于點C，且OA≠OB，OA=OC，設拋物線的頂點為點P，直線PC與x軸的交點D恰好與點A關于y軸對稱．
（1）求p、q的值．
（2）在題中的拋物線上是否存在這樣的點Q，使得四邊形PAQD恰好為平行四邊形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）連接PA、AC．問：在直線PC上，是否存在這樣點E（不與點C重合），使得以P、A、E為頂點的三角形與△PAC相似？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

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