Question

【題目】已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分線EF分別交AD、BC與點E、F，垂足為O．
（1）如圖（1），連接AF、CE．求證四邊形AFCE為菱形，并求AF的長；

（2）如圖（2），動點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)，沿△AFB和△CDE各邊勻速運(yùn)動一周，即點P自A→F→B→A停止，點Q自C→D→E→C停止，在運(yùn)動過程中，已知點P的速度為每秒5cm，點Q的速度為每秒4cm，運(yùn)動時間為t秒，當(dāng)A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵AC的垂直平分線EF，
∴OA=OC，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，
∵OA=OC，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
∵EF⊥AC，
∴四邊形AFCE是菱形．
∴AF=FC，
設(shè)AF=xcm，
則CF=xcm，BF=（8﹣x）cm，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∴在Rt△ABF中，
由勾股定理得：42+（8﹣x）2=x2 ，
解得x=5，即AF=5cm
（2）解：顯然當(dāng)P點在AF上時，Q點在CD上，此時A、C、P、Q四點不可能構(gòu)成平行四邊形；
同理P點在AB上時，Q點在DE或CE上或P在BF，Q在CD時不構(gòu)成平行四邊形，也不能構(gòu)成平行四邊形．
因此只有當(dāng)P點在BF上、Q點在ED上時，才能構(gòu)成平行四邊形，
如圖所示：

∴以A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，PC=QA，
∵點P的速度為每秒5cm，點Q的速度為每秒4cm，運(yùn)動時間為t秒，
∴PC=5t，QA=12﹣4t，
∴5t=12﹣4t，
解得t= ．
∴以A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，t= 秒．
【解析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)及垂直平分線的性質(zhì)得出∠EAO=∠FCO，OA=OC，再證明△AOE≌△COF，得出OE=OF，再根據(jù)EF⊥AC，可證得四邊形AFCE是菱形．由菱形的性質(zhì)得出AF=CF，然后在Rt△ABF中，設(shè)未知數(shù)，根據(jù)勾股定理建立方程求解即可得出AF的長。
（2）根據(jù)已知結(jié)合圖形，分情況討論：可知當(dāng)P點在AF上時，Q點在CD上或P點在AB上時，Q點在DE或CE上或P在BF，Q在CD時，以A、C、P、Q四點為頂點不能構(gòu)造平行四邊形；只有當(dāng)P點在BF上、Q點在ED上時，才能構(gòu)成平行四邊形，得出PC=QA，建立關(guān)于t的方程求解即可。
【考點精析】關(guān)于本題考查的勾股定理的概念和平行四邊形的性質(zhì)，需要了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補(bǔ)；平行四邊形的對角線互相平分才能得出正確答案．