Question

【題目】問題:如圖①,點(diǎn)E,F分別在正方形ABCD的邊BC,CD上,∠EAF=45°,試判斷BE,EF,FD之間的數(shù)量關(guān)系.

（1）【發(fā)現(xiàn)證明】
小聰把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG的位置,從而發(fā)現(xiàn)EF=BE+FD,請(qǐng)你利用圖①證明上述結(jié)論.
（2）【類比引申】
如圖②,在四邊形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,點(diǎn)E,F分別在邊BC,CD上,則當(dāng)∠EAF與∠BAD滿足關(guān)系時(shí),仍有EF=BE+FD.請(qǐng)說明理由.
（3）【探究應(yīng)用】
如圖③,在某公園的同一水平面上,四條通道圍成四邊形ABCD.已知AB=AD=80 m,∠B=60°,∠ADC=120°,∠BAD=150°,道路BC,CD上分別有景點(diǎn)E,F,且AE⊥AD,DF=40( -1)m,現(xiàn)要在E,F之間修一條筆直的道路,求這條道路EF的長(zhǎng)(結(jié)果精確到1 m,參考數(shù)據(jù): ≈1.41, ≈1.73).

Answer 1

【答案】
（1）解：證明:由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE=AG,BE=DG,∠B=∠ADG=90°, ∠EAG=90°.
∵∠B+∠ADC=180°,
∴∠ADC+∠ADG=180°.
∴G,D,C三點(diǎn)共線.
∵∠EAF=45°,∴∠GAF=45°,
∴∠GAF=∠EAF.
又∵AF=AF,∴△AFG≌△AFE(SAS).
∴GF=EF.
∵GF=DG+FD=BE+FD,
∴EF=BE+FD
（2）解：∠EAF= ∠BAD；如圖①,

將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△ADG的位置,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE=AG,BE=DG,∠B=∠ADG, ∠BAE=∠DAG.
∵∠B+∠ADC=180°,∴∠ADC+∠ADG=180°.
∴G,D,C三點(diǎn)共線.
∵∠BAE=∠DAG,∴∠BAD=∠EAG.
∵∠EAF= ∠BAD,∴∠GAF=∠EAF.
又∵AF=AF,∴△AFG≌△AFE(SAS).
∴GF=EF.
∵GF=DG+FD=BE+FD,∴EF=BE+FD.
故答案為∠EAF= ∠BAD.
（3）解：∵AE⊥AD,∴∠DAE=90°.
∵∠BAD=150°,∴∠BAE=60°.
又∵∠B=60°,∴△ABE是等邊三角形.
∴BE=AB=80 m.
如圖②,

連接AF,過點(diǎn)A作AH⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于H.
在Rt△AHD中,∠ADH=180°-∠ADC=60°,AD=80 m,
∴∠HAD=30°.
∴HD= AD=40 m,∴AH= =40 m.
∵DF=40( -1) m,∴HF=HD+DF=40+40( -1)=40 (m).
∴在Rt△AHF中,AH=HF,∴∠HAF=45°.∴∠DAF=15°.
∴∠EAF=90°-15°=75°.∴∠EAF= ∠BAD.
運(yùn)用上面的結(jié)論可得EF=BE+DF=80+40( -1)=40+40 ≈109(m).即這條道路EF的長(zhǎng)約為109 m.
【解析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證得AE=AG,BE=DG,∠B=∠ADG=90°, ∠EAG=90°，再根據(jù)∠EAF=45°，可證得∠GAF=∠EAF，根據(jù)全等三角形的判定證明△AFG≌△AFE，得出GF=EF，然后根據(jù)GF=DG+FD，即可證得結(jié)論。
（2）將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△ADG的位置,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE=AG,BE=DG,∠B=∠ADG, ∠BAE=∠DAG，可證得∠ADC+∠ADG=180°，得出G,D,C三點(diǎn)共線，再根據(jù)∠EAF=∠BAD去證明∠GAF=∠EAF，從而證得△AFG≌△AFE，得出GF=EF，然后再證明EF=BE+FD，就可得出當(dāng)∠EAF=∠BAD時(shí)，仍有EF=BE+FD成立。
（3）結(jié)合已知條件易證△ABE是等邊三角形.，就可求出BE的長(zhǎng)，添加輔助線，連接AF,過點(diǎn)A作AH⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于H，根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出HD的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出AH的長(zhǎng)，從而就可求出HF的長(zhǎng)，證得AH=HF，然后證明∠EAF= ∠BAD，根據(jù)以上結(jié)論可求出EF的長(zhǎng)。