Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，點P是邊AB上的一動點，連接DP，

（1）若將△DAP沿DP折疊，點A落在矩形的對角線上點A處，試求AP的長；

（2）點P運動到某一時刻，過點P作直線PE交BC于點E，將△DAP與△PBE分別沿DP與PE折疊，點A與點B分別落在點A，B處，若P，A，B三點恰好在同一直線上，且AB=2，試求此時AP的長．

（3）當點P運動到邊AB的中點處時，過點P作直線PG交BC于點G，將△DAP與△PBG分別沿DP與PG折疊，點A與點B重合于點F處，請直接寫出F到BC的距離．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）1或3；（3）

【解析】

（1）分兩種情形：①當點在對角線上時，設(shè)，則，利用勾股定理進行求解；②當點在對角線上時，利用相似三角形的性質(zhì)進行求解；

（2）設(shè)，則，分兩種情形分別構(gòu)建方程進行求解；

（3）作FH⊥CD于H，作FI⊥BC于I，設(shè)BG＝FG＝x，在Rt△GCD中運用勾股定理得出x的值，根據(jù)FH∥CG求出FH的長，即可得出GI的長，最后在Rt△FGI中運用勾股定理進行求解．

解：（1）①當點在對角線上時，如圖1，

，，

，

由折疊性質(zhì)，，，，

，

設(shè)，則，

，

，

解得，，

；

②當點在對角線上時，如圖2，

根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，

，

，

，

長為或；

（2）①如圖3，設(shè)，則，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：

，，

，

，

即，

②如圖4，設(shè)，則，

根據(jù)折疊性質(zhì)可知：，，

，

，

即，

長為1或3；

（3）如圖5，作FH⊥CD于H，作FI⊥BC于I，

根據(jù)折疊性質(zhì)可知：AD＝DF＝3，BG＝GF，G、F、D三點共線，設(shè)BG＝FG＝x，

在Rt△GCD中，，

解得，，

∴DG＝DF+FG＝，CG＝BC﹣BG＝，

∵FH∥CG，

∴，

∴，

∵易知四邊形FICH為矩形，

∴FH＝IC，

∴，

∴在Rt△FGI中，，

∴F到BC的距離為．