Question

【題目】如圖：一次函數(shù)y=kx+b的圖像交x軸正半軸于點(diǎn)A、y軸正半軸于點(diǎn)B，且OA=OB=1．以線段AB為邊在第一象限作正方形ABCD，點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=圖像上．

（1）求一次函數(shù)的關(guān)系式，并判斷點(diǎn)C是否在反比例函數(shù)y=圖像上；

（2）在直線AB上找一點(diǎn)P，使PC+PD的值最小，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)C在反比例函數(shù)圖像上；（2）P（，）

【解析】（1）利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式，過(guò)D作DE⊥x軸于E,證△OAB≌△EDA,得出點(diǎn)D坐標(biāo)，同理可求出C點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式，將點(diǎn)C代入反比例函數(shù)解析式中驗(yàn)證即可得出點(diǎn)C在反比例函數(shù)的圖象上；

（2）延長(zhǎng)DA交y軸于F，根據(jù)△OAB是等腰直角三角形可證D與F關(guān)于直線AB對(duì)稱(chēng)，連接CF與直線AB的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，利用待定系數(shù)法求出直線CF的解析式，即可得出答案.

（1）∵OA=OB=1，

∴A(1,0)，B（0,1），

∴一次函數(shù)關(guān)系式為y=－x+1，

過(guò)D作DE⊥x軸于E,

∵∠B=∠AED=90°, ∠BAD=90°,

∴∠OBA+∠OAB=90°, ∠DAE+∠OAB=90°,

∴∠OBA=∠DAE,

又∵AB=DA,

∴△OAB≌△EDA,

∴AE=OB=1,DE=OA=1,

∴OE=2,

∴D(2,1)

同理可得，C（1,2）

把D(2,1)代入y=中，則m＝2，

∴y=，

當(dāng)x＝1時(shí)，y＝2，

∴點(diǎn)C在反比例函數(shù)圖像上；

（2）延長(zhǎng)DA交y軸于F，

∵∠BAD=90°,

∴∠BAF=90°,

∵△OAB是等腰直角三角形，

∴∠OBA=45°,

∴△FAB是等腰直角三角形，

∴AF=AB=AD,

∴AB垂直平分DF，

即D與F關(guān)于直線AB對(duì)稱(chēng)，

連接CF交AB于P，則點(diǎn)P即為所求.

∵C（1，2）、F（0，-1），

∴直線CF的函數(shù)的關(guān)系式為y=3x-1，

解方程組 得，

∴P（，）.