Question

19．已知a，b，c是△ABC的三邊長(zhǎng)，方程$\frac{27}{4}$x²+3（a+b+c）x+（a²+b²+c²）=0有兩個(gè)相等實(shí)根，請(qǐng)判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析 由已知可得△=0，從而化簡(jiǎn)可得（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²=0，繼而可知a=b=c．

解答 解：∵方程$\frac{27}{4}$x²+3（a+b+c）x+（a²+b²+c²）=0有兩個(gè)相等實(shí)根，
∴△=[3（a+b+c）]²-4×$\frac{27}{4}$×（a²+b²+c²）=9（a+b+c）²-27（a²+b²+c²）=0，
∴（a+b+c）²=3（a²+b²+c²），
解得：ab+ac+bc=a²+b²+c²，
∴2a²+2b²+2c²=2ab+2ac+2bc，
∴a²-2ab+b²+a²-2ac+c²+b²-2bc+c²=0，
∴（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²=0，
∴a=b=c，
∴△ABC是等邊三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了一元二次方程根的判別式，考查了三角形形狀的判斷，解題的關(guān)鍵是根據(jù)根的判別式為0化簡(jiǎn)得出關(guān)于a、b、c間關(guān)系的等式．