Question

【題目】如圖1拋物線y=ax2+bx+c過 A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三點(diǎn)．

（1）求拋物線解析式；
（2）點(diǎn)C，D關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，求△BCD的面積；
（3）如圖2，過點(diǎn)E（1，﹣1）作EF⊥x軸于點(diǎn)F，將△AEF繞平面內(nèi)某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得△MNQ（點(diǎn)M、N、Q分別與A、E、F對(duì)應(yīng)）使得M、N在拋物線上，求M、N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：拋物線y=ax2+bx+c過 A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三點(diǎn)，

∴可設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣4），

把C（0，2）代入得2=a（0+1）（0﹣4），解得a=﹣ ，

∴拋物線解析式為y=﹣ （x+1）（x﹣4）=﹣ x2+ x+2

（2）

解：拋物線對(duì)稱軸為x=﹣ =﹣ = ，

∵點(diǎn) C（0，2），D關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，

∴D（3，2），

∴CD=3，

∴S△BCD= CDOC= ×3×2=3

（3）

解：∵A（﹣1，0），E（1，﹣1），EF⊥x軸于點(diǎn)F，

∴AF=2，EF=1

如圖2，由旋轉(zhuǎn)知△MNQ≌△AEF，

∴MQ=AF=2，NQ=EF=1，

且MQ∥x軸，NQ⊥x軸，

設(shè)N（m，n），則M（m+2，n﹣1），

代入拋物線解析式y(tǒng)=﹣ x2+ x+2，

得 ，解得 ，

∴M（3，2），N（1，3）

【解析】（1）由A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；（2）由拋物線解析式可求得拋物線對(duì)稱軸，可求得D點(diǎn)坐標(biāo)，則可求得△BCD的面積；（3）由旋轉(zhuǎn)知△MNQ≌△AEF，設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），則可表示出M點(diǎn)坐標(biāo)，把M、N的坐標(biāo)代入拋物線解析式可得到關(guān)于m、n的方程組，可求得m、n的值，則可求得M、N的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．