Question

【題目】如圖，ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且∠OBC＝∠OCB．

（1）求證：四邊形ABCD為矩形；

（2）過(guò)B作BE⊥AO于E，∠CBE＝3∠ABE，BE＝2，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）根據(jù)等角對(duì)等邊得出OB＝OC，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)求出OC＝OA＝AC，OB＝OD＝BD，推出AC＝BD，根據(jù)矩形的判定推出即可．

（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)和∠CBE＝3∠ABE，得出∠ABE＝22.5°，在EB上取一點(diǎn)H，使得EH＝AE，易證AH＝BH，設(shè)AE＝EB＝x，則AH＝BH＝x，構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．

（1）證明：∵∠OBC＝∠OCB，

∴OB＝OC，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OC＝OA＝AC，OB＝OD＝BD，

∴AC＝BD，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴四邊形ABCD是矩形；

（2）∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝90°，

∵∠CBE＝3∠ABE，

∴∠ABE＝×90°＝22.5°，

∵BE⊥AO，

∠BAE=90°-∠ABE=67.5°，

在EB上取一點(diǎn)H，使得EH＝AE，

∴∠HAE=∠AHE=45°，

∴∠BAH=∠BAE-∠HAE=22.5°，

∴∠BAH=∠ABE=22.5°，

∴AH＝BH，

設(shè)AE＝EB＝x，則AH＝BH＝=x，

∵BE＝2，

∴x+x＝2，

∴x＝．