【題目】如圖:在平面直角坐標系中,直線:與軸交于點,經(jīng)過點的拋物線的對稱軸是.
(1)求拋物線的解析式.
(2)平移直線經(jīng)過原點,得到直線,點是直線上任意一點,軸于點,軸于點,若點在線段上,點在線段的延長線上,連接,,且.求證:.
(3)若(2)中的點坐標為,點是軸上的點,點是軸上的點,當時,拋物線上是否存在點,使四邊形是矩形?若存在,請求出點的坐標,如果不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)證明見解析;(3)存在,點的坐標為或.
【解析】
(1)先求得點A的坐標,然后依據(jù)拋物線過點A,對稱軸是,列出關(guān)于a、c的方程組求解即可;
(2)設(shè)P(3n,n),則PC=3n,PB=n,然后再證明∠FPC=∠EPB,最后通過等量代換進行證明即可;
(3)設(shè),然后用含t的式子表示BE的長,從而可得到CF的長,于是可得到點F的坐標,然后依據(jù)中點坐標公式可得到,,從而可求得點Q的坐標(用含t的式子表示),最后,將點Q的坐標代入拋物線的解析式求得t的值即可.
解:(1)當時,,
解得,即,
拋物線過點,對稱軸是,
得,
解得,拋物線的解析式為;
(2)∵平移直線經(jīng)過原點,得到直線,
∴直線的解析式為.
∵點是直線上任意一點,
∴,則,.
又∵,
∴.
∵軸,軸
∴
∴
∵,
∴,
∴.
(3)設(shè),點在點的左側(cè)時,如圖所示,則.
∵,
∴.
∴.
∵四邊形為矩形,
∴,,
∴,,
∴,.
將點的坐標代入拋物線的解析式得:,
解得:或(舍去).
∴.
當點在點的右側(cè)時,如下圖所示,則.
∵,
∴.
∴.
∵四邊形為矩形,
∴,,
∴,,
∴,.
將點的坐標代入拋物線的解析式得:,
解得:或(舍去).
∴.
綜上所述,點的坐標為或.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線y=-x+2分別交x軸、y軸于點A、B,拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A、B.點P是x軸上一個動點,過點P作垂直于x軸的直線分別交拋物線和直線AB于點E和點F.設(shè)點P的橫坐標為m.
(1)點A的坐標為 .
(2)求這條拋物線所對應的函數(shù)表達式.
(3)點P在線段OA上時,若以B、E、F為頂點的三角形與△FPA相似,求m的值.
(4)若E、F、P三個點中恰有一點是其它兩點所連線段的中點(三點重合除外),稱E、F、P三點為“共諧點”.直接寫出E、F、P三點成為“共諧點”時m的值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(0,﹣2),與x軸交點的橫坐標分別為x1、x2,且﹣1<x1<0,1<x2<2,下列結(jié)論正確的是( 。
A.a<0B.5a+b+2c>0C.2a+b<0D.4ac+8a>b2
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,射線交一圓于點,,射線交該圓于點,,且 .
(1)判斷與的數(shù)量關(guān)系.(不必證明)
(2)利用尺規(guī)作圖,分別作線段的垂直平分線與的平分線,兩線交于點(保留作圖痕跡,不寫作法),求證:平分.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,若內(nèi)一點滿足,則稱點為的布羅卡爾點,三角形的布羅卡爾點是法國數(shù)學教育家克雷爾首次發(fā)現(xiàn),后來被數(shù)學愛好者法國軍官布羅卡爾重新發(fā)現(xiàn),并用他的名字命名,布羅卡爾點的再次發(fā)現(xiàn),引發(fā)了研究“三角形幾何”的熱潮.已知中,,,為的布羅卡爾點,若,則________.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖將矩形ABCD沿CM折疊,使點D落在AB邊上的點E處,
(1)求證:△AME∽△BEC.
(2)若△EMC∽△AME,求AB與BC的數(shù)量關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】小明隨機調(diào)查了若干市民租用共享單車的騎車時間t(單位:分),將獲得的數(shù)據(jù)分成四組,繪制了如下統(tǒng)計圖(A:0<t≤10,B:10<t≤20,C:20<t≤30,D:t>30),根據(jù)圖中信息,解答下列問題:
(1)這項被調(diào)查的總?cè)藬?shù)是多少人?
(2)試求表示A組的扇形統(tǒng)計圖的圓心角的度數(shù),補全條形統(tǒng)計圖;
(3)如果小明想從D組的甲、乙、丙、丁四人中隨機選擇兩人了解平時租用共享單車情況,請用列表或畫樹狀圖的方法求出恰好選中甲的概率.
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【題目】綜合與探究
如圖,已知拋物線與軸交于,兩點,與軸交于點,對稱軸為直線,頂點為.
(1)求拋物線的解析式及點坐標;
(2)在直線上是否存在一點,使點到點的距離與到點的距離之和最小?若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由.
(3)在軸上取一動點,,過點作軸的垂線,分別交拋物線,,于點,,.
①判斷線段與的數(shù)量關(guān)系,并說明理由
②連接,,,當為何值時,四邊形的面積最大?最大值為多少?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列說法正確的是( )
A.一顆質(zhì)地均勻的骰子已連續(xù)拋擲了2000次,其中拋擲出5點的次數(shù)最少,則第2001次一定拋擲出5點
B.拋擲一枚圖釘,釘尖觸地和釘尖朝上的概率不相等
C.明天降雨的概率是80%,表示明天有80%的時間降雨
D.某種彩票中獎的概率是1%,因此買100張該種彩票一定會中獎
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