【題目】如圖:在平面直角坐標系中,直線軸交于點,經(jīng)過點的拋物線的對稱軸是

1)求拋物線的解析式.

2)平移直線經(jīng)過原點,得到直線,點是直線上任意一點,軸于點,軸于點,若點在線段上,點在線段的延長線上,連接,,且.求證:

3)若(2)中的點坐標為,點軸上的點,點軸上的點,當時,拋物線上是否存在點,使四邊形是矩形?若存在,請求出點的坐標,如果不存在,請說明理由.

【答案】1;(2)證明見解析;(3)存在,點的坐標為.

【解析】

1)先求得點A的坐標,然后依據(jù)拋物線過點A,對稱軸是,列出關(guān)于a、c的方程組求解即可;
2)設(shè)P3nn),則PC=3n,PB=n,然后再證明∠FPC=EPB,最后通過等量代換進行證明即可;
3)設(shè),然后用含t的式子表示BE的長,從而可得到CF的長,于是可得到點F的坐標,然后依據(jù)中點坐標公式可得到,,從而可求得點Q的坐標(用含t的式子表示),最后,將點Q的坐標代入拋物線的解析式求得t的值即可.

解:(1)當時,,

解得,即

拋物線過點,對稱軸是

,

解得,拋物線的解析式為;

2平移直線經(jīng)過原點,得到直線,

直線的解析式為.

是直線上任意一點,

,則,.

,

.

軸,

,

,

.

3)設(shè),點在點的左側(cè)時,如圖所示,則.

,

.

.

四邊形為矩形,

,

,,

.

將點的坐標代入拋物線的解析式得:,

解得:(舍去).

.

當點在點的右側(cè)時,如下圖所示,則.

.

.

四邊形為矩形,

,,

,,

,.

將點的坐標代入拋物線的解析式得:,

解得:(舍去).

.

綜上所述,點的坐標為.

練習冊系列答案
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(1)求拋物線的解析式及點坐標;

(2)在直線上是否存在一點,使點到點的距離與到點的距離之和最小?若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由.

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