Question

如圖，拋物線與x軸相交于點(diǎn)A（-4，0），B（-2，0），直線AC過拋物線上的點(diǎn)C（-1，3）．
（1）求此拋物線和直線AC的解析式；
（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)是D，直線AC與拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F是直線DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求FB+FC的最小值；
（3）若點(diǎn)P在直線AC上，問在平面上是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+4）（x+2）．
（2）點(diǎn)B的關(guān)于直線DE對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)A，連AC交DE，交點(diǎn)就是F點(diǎn)．
（3）首先要分類，若AB為對(duì)角線，利用菱形對(duì)角線相互垂直平分，若AB為邊，四邊都等于2．

解答：解：（1）設(shè)該拋物線的解析式是y=a（x+4）（x+2）
把C（-1，3）代入得，
a=1．
∴該拋物線的解析式是y=x²+6x+8
設(shè)直線AC的解析式是y=kx+b
把A（-4，0），C（-1，3）代入得，

-4k+b=0 -k+b=3

解得

k=1 b=4

∴直線AC的解析式是y=x+4（4分）

（2）∵點(diǎn)A、B關(guān)于直線DE對(duì)稱，
∴FB=FA（6分）
∴FB+FC=FA+FC
當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)E重合時(shí)，F(xiàn)B+FC最小，最小值是3

2

（8分）

（3）當(dāng)AB為菱形的對(duì)角線時(shí)，
菱形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)在線段AB的中垂線上，
而點(diǎn)P又在直線AC上，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是P（-3，1）
∴Q₁（-3，-1）（9分）
當(dāng)AB為菱形的一邊時(shí)，
①當(dāng)AP=2時(shí)，點(diǎn)P是以A為圓心，2為半徑的圓與直線AC的交點(diǎn)．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(

2

-4，

2

)或(-

2

-4，-

2

)
∴Q2(

2

-2，

2

)，Q3(-

2

-2，-

2

)（11分）
②當(dāng)BP=2時(shí)，點(diǎn)P是以B為圓心，2為半徑的圓與直線AC的交點(diǎn)．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-2，2）
∴Q₄（-4，2）
∴在平面上存在點(diǎn)Q₁（-3，-1），Q2(

2

-2，

2

)，Q3(-

2

-2，-

2

)，Q₄（-4，2），使得以點(diǎn)A，B，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．（12分）

點(diǎn)評(píng)：①合理選擇拋物線的解析式．②求直線上一點(diǎn)到直線外同旁兩點(diǎn)的距離之和最小的問題要轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短來解決．③此類問題要分類討論，利用圖形的幾何性質(zhì)解決．