Question

（2012•廣東模擬）已知，如圖，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，∠ACD是△ABC的外角，延長(zhǎng)EF交∠ACD的平分線(xiàn)于G點(diǎn)，求證：AG⊥CG．

Answer 1

分析：利用三角形中位線(xiàn)定理推知EF∥BC．所以利用平行線(xiàn)的性質(zhì)、三角形角平分線(xiàn)的性質(zhì)以及等腰三角形的判定證得FG=FC．又由AF=CF，則FG是△ACG中AC邊上的中線(xiàn)，且FG=

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AC，故△AGC是直角三角形．

解答：證明：∵E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，
∴EF是△ABC的中位線(xiàn)，AF=CF，
∴EF∥BC，
∴∠FGC=∠GCD．
∵CG平分∠ACD，
∴∠FCG=∠GCD，
∴∠FCG=∠FGC，
∴FG=FC．
又∵AF=CF，
∴FG是△ACG中AC邊上的中線(xiàn)，且FG=

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AC，
∴△AGC是直角三角形，
∴AG⊥CG．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形中位線(xiàn)定理、直角三角形斜邊上的中線(xiàn)定理．一個(gè)三角形，如果一邊上的中線(xiàn)等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是以這條邊為斜邊的直角三角形．該定理可以用來(lái)判定直角三角形．