Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（﹣1，0），（5，0），（0，2）．若點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向B點(diǎn)移動(dòng)，連接PC并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使CE=PC，將線段PE繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PF，連接FB．若點(diǎn)P在移動(dòng)的過(guò)程中，使△PBF成為直角三角形，則點(diǎn)F的坐標(biāo)是________．

Answer 1

【答案】（5，2），（，）

【解析】

試題當(dāng)P位于線段OA上時(shí)，顯然△PFB不可能是直角三角形；由于∠BPF＜∠CPF=90°，所以P不可能是直角頂點(diǎn)，可分兩種情況進(jìn)行討論：

①F為直角頂點(diǎn)，過(guò)F作FD⊥x軸于D，BP=6﹣t，DP=2OC=4，在Rt△OCP中，OP=t﹣1，由勾股定理易求得CP=t2﹣2t+5，那么PF2=（2CP）2=4（t2﹣2t+5）；在Rt△PFB中，FD⊥PB，由射影定理可求得PB=PF2÷PD=t2﹣2t+5，而PB的另一個(gè)表達(dá)式為：PB=6﹣t，聯(lián)立兩式可得t2﹣2t+5=6﹣t，即t=；

②B為直角頂點(diǎn)，那么此時(shí)的情況與（2）題類似，△PFB∽△CPO，且相似比為2，那么BP=2OC=4，即OP=OB﹣BP=1，此時(shí)t=2．

解：能；

①若F為直角頂點(diǎn)，過(guò)F作FD⊥x軸于D，則BP=6﹣t，DP=2OC=4，

在Rt△OCP中，OP=t﹣1，

由勾股定理易求得CP2=t2﹣2t+5，那

么PF2=（2CP）2=4（t2﹣2t+5）；

在Rt△PFB中，FD⊥PB，

由射影定理可求得PB=PF2÷PD=t2﹣2t+5，

而PB的另一個(gè)表達(dá)式為：PB=6﹣t，

聯(lián)立兩式可得t2﹣2t+5=6﹣t，即t=，

P點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），

則F點(diǎn)坐標(biāo)為：（，）；

②B為直角頂點(diǎn)，那么此時(shí)的情況與（2）題類似，△PFB∽△CPO，且相似比為2，

那么BP=2OC=4，即OP=OB﹣BP=1，此時(shí)t=2，

P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）．FD=2（t﹣1）=2，

則F點(diǎn)坐標(biāo)為（5，2）．

故答案是：（5，2），（，）．