【題目】小明研究了這樣一道幾何題:如圖1,在中,把繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到,把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到,連接.當時,請問上的中線的數(shù)量關(guān)系是什么?以下是他的研究過程:

特例驗證:(1)①如圖2,當為等邊三角形時,猜想的數(shù)量關(guān)系為_______;②如圖3,當,時,則長為________

猜想論證:(2)在圖1中,當為任意三角形時,猜想的數(shù)量關(guān)系,并給予證明.

拓展應(yīng)用:(3)如圖4,在四邊形,,,,在四邊形內(nèi)部是否存在點,使之間滿足小明探究的問題中的邊角關(guān)系?若存在,請畫出點的位置(保留作圖痕跡,不需要說明)并直接寫出的邊上的中線的長度;若不存在,說明理由.

【答案】1)①;②4,(2;理由見解析,(3)存在;

【解析】

1)①首先證明是含有的直角三角形,可得,即可解決問題;②首先證明,根據(jù)直角三角形斜邊中線定理即可解決問題.

2的數(shù)量關(guān)系為,如圖5,延長,使,連接,先證四邊形是平行四邊形,再證明,即可解決問題.

3)存在,如圖6,延長的延長線于,作,做直線的垂直平分線交,交,連接、,作的中線,連接,先證明,,再證明,即可得出結(jié)論,再在中,根據(jù)勾股定理,即可求出的長.

1)①如圖2,∵是等邊三角形,把繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到,把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到,

又∵上的中線,∴,

,即,

,,

,

∴在中,,

故答案為:

②如圖3,∵,

,即為直角三角形,

∵把繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到,把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到,

,

∴在中,

,

上的中線,為直角三角形,

,

又∵,

故答案為:

2,

如圖5,延長,使,連接、,

5

,

∴四邊形是平行四邊形,

,,

,

,

∴在中,

,

,

3)存在,

如圖6,延長的延長線于,作,作直線的垂直平分線交,交,連接、,作的中線,連接,

6

,

,

,

中,

,,,

,,

中,

,,

,

,

,∴,

,∴,

中,

,

,

,

,

∴四邊形是矩形,

,

是等邊三角形,

,

,

,

,

之間滿足小明探究的問題中的邊角關(guān)系,

中,∵,,

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知二次函數(shù)為常數(shù)).

1)求證:不論為何值,該二次函數(shù)的圖像與軸總有公共點.

2)求證:不論為何值,該二次函數(shù)的圖像的頂點都在函數(shù)的圖像上.

3)已知點、,線段與函數(shù)的圖像有公共點,則的取值范圍是__________

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在中,,的平分線,點上,經(jīng)過點兩點,與分別交于點,

1)求證:相切;

2)若,,求的半徑的長.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖所示的正方形網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長均為1個單位,均在格點上,按如下要求作圖.

1)將線段點按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,點對應(yīng)點為點;

2)以為對角線畫一個各邊都不相等的四邊形,且,此時四邊形的面積為_______

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】閱讀以下材料,并按要求完成相應(yīng)的任務(wù):

萊昂哈德·歐拉(Leonhard Euler)是瑞士數(shù)學家,在數(shù)學上經(jīng)常見到以他的名字命名的重要常數(shù)、公式和定理,下面是歐拉發(fā)現(xiàn)的一個定理:在ABC 中,R r 分別為外接圓和內(nèi)切圓的半徑,O I 分別為其外心和內(nèi)心,則OI R2Rr .

下面是該定理的證明過程(借助了第(2)問的結(jié)論):

延長AI 交⊙O 于點 D,過點 I 作⊙O 的直徑 MN,連接 DMAN.

∵∠D=N,∴∠DMI=NAI(同弧所對的圓周角相等),

∴△MDI∽△ANI.,∴ IA ID IM IN

如圖②,在圖 1(隱去 MD,AN)的基礎(chǔ)上作⊙O 的直徑DE,連接BE,BDBI,IF

DE 是⊙O 的直徑,∴∠DBE=90°.

∵⊙I AB 相切于點 F,∴∠AFI=90°,

∴∠DBE=IFA.

∵∠BAD=E(同弧所對圓周角相等),

∴△AIF∽△EDB

,∴②,

由(2)知:

又∵,

2Rr(R d )(R d ) ,

R d 2Rr

d R 2Rr

任務(wù):(1)觀察發(fā)現(xiàn): IM R d , IN (用含Rd 的代數(shù)式表示);

2)請判斷 BD ID 的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.(請利用圖 1 證明)

3)應(yīng)用:若ABC 的外接圓的半徑為 6cm,內(nèi)切圓的半徑為 2cm,則ABC 的外心與內(nèi)心之間的距離為   cm

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,四邊形ABCD中,AB=CD,對角線AC,BD相交于點O,AEBD于點E,CFBD于點F,連接AF,CE,若DE=BF,則下列結(jié)論:

①CF=AE;②OE=OF;③圖中共有四對全等三角形;④四邊形ABCD是平行四邊形;其中正確結(jié)論的是_____________________

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦DE垂直平分半徑OA,C為垂足,弦DF與半徑OB相交于點P,連接EF、EO,若DE2,∠DPA45°.則圖中陰影部分的面積為____

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【題目】在等腰△ABC中,ADBC交直線BC于點D,若AD=BC,則△ABC的頂角的度數(shù)為_____

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【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為4⊙B的半徑為2,P⊙B上的動點,則PD+PC的最小值等于_____

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