Question

11．有些規(guī)律問題可以借助函數(shù)思想建立數(shù)學模型來探討解決，如此“問題情境”：用同樣大小的黑色棋子按如圖所示的規(guī)律擺放，則第1000個圖中共有多少枚棋子？

我們可以如此探討，具體步驟：
第一步：確定研究關(guān)系中的自變量與函數(shù)；
第二步：在直角坐標系中描點畫出函數(shù)圖象；
第三步：根據(jù)函數(shù)圖象猜想并求出函數(shù)關(guān)系式；
第四步：把另外的點代入驗證．
若成立，則得到表達規(guī)律的關(guān)系式，進而解決問題．
請依照以上步驟，解答“問題情境”中的問題．
（每一步要寫出簡要的過程說明）

Answer 1

分析 第一步：確定關(guān)系中的自變量為圖形的序號x，函數(shù)為第x個圖形中的點數(shù)y；
第二步：由題意得到關(guān)系滿足的點（1，2），（2，5），（3，9）（4，14），畫出圖象即可；
第三步：猜想函數(shù)關(guān)系為二次函數(shù)，解方程組即可得到函數(shù)解析式y(tǒng)=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x，
第四步：把（4，14）代入驗證猜想，左邊=14，右邊=$\frac{1}{2}×{4}^{2}+\frac{3}{2}×4=14$，左邊=右邊，確定表達規(guī)律的關(guān)系式為y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x，即可得到結(jié)論．

解答 解：第一步：確定關(guān)系中的自變量為圖形的序號x，函數(shù)為第x個圖形中的點數(shù)y；
第二步：由題意得關(guān)系滿足點（1，2），（2，5），（3，9）（4，14），則可描點畫出大致圖象；
第三步：猜想函數(shù)關(guān)系為二次函數(shù)，
設(shè)函數(shù)解析式為：y=ax²+bx+c，
∵函數(shù)圖形過（1，2），（2，5）（3，9），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2=a+b+c}\\{5=4a+2b+c}\\{9=9a+3b+c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴函數(shù)解析式為：y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x，
第四步：把（4，14）代入驗證猜想，左邊=14，右邊=$\frac{1}{2}×{4}^{2}+\frac{3}{2}×4=14$，左邊=右邊，
∴猜想正確，表達規(guī)律的關(guān)系式為y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x，
當x=100時，y=501500．

點評 本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實際問題中整理出二次函數(shù)模型，并運用二次函數(shù)的知識解決實際問題．