(11·大連)(本題12分)在△ABC中,∠A=90°,點D在線段BC上,∠EDB

∠C,BE⊥DE,垂足為E,DE與AB相交于點F.

(1)當AB=AC時,(如圖13),

① ∠EBF=_______°;

② 探究線段BE與FD的數(shù)量關系,并加以證明;

(2)當AB=kAC時(如圖14),求的值(用含k的式子表示).

 

  

 

解:(1)①22.5°…………………………2分

證明:如圖1,過點D作DG∥CA,與BE的延長線相交于點G,與AB相交于點H

則∠GDB=∠C  ∠BHD=∠A=90°=∠GHB

又∵DE=DE,∠DEB=∠DEG=90°

∴△DEB≌△DEG

∵AB=AC   ∠A=90°

∴∠ABC=∠C=∠GDB

∴HB=HD

∵∠DEB=∠BHD=90°   ∠BFE=∠DFH

∴∠EBF=∠HDF

∴△GBH≌△FDH

∴GB=FD…………………………6分

(2)如圖1,過點D作DG∥CA,與BE的延長線相交于點G,與AB相交于點H

又∵DG∥CA

∴△BHD∽△BAC

第二種解法:

解:(1)①∵AB=AC∠A=90°

∴∠ABC=∠C=45°

∵∠EDB= ∠C

∴∠EDB=22.5°

∵BE⊥DE

∴∠EBD=67.5°

∴∠EBF=67.5°-45°=22.5°

②在△BEF和△DEB中

∵∠E=∠E=90°

∠EBF=∠EDB=22.5°

∴△BEF∽△DEB

如圖:BG平分∠ABC,

∴BG=GD△BEG是等腰直角三角形

設EF=x,BE=y(tǒng),

則:BG=GD= y

FD= y+y-x

∵△BEF∽△DEB

即:

得:x=( -1)y

∴FD= y+y-( -1)y=2y

∴FD=2BE.

(2)如圖:作∠ACB的平分線CG,交AB于點G,

∵AB=kAC

∴設AC=b,AB=kb,BC= b

利用角平分線的性質有:

即:

得:AG=

∵∠EDB= ∠ACB

∴tan∠EDB=tan∠ACG=

∵∠EDB= ∠ACB

∠ABC=90°-∠ACB

∴∠EBF=90°-∠ABC-∠EDB= ∠ACB

∴△BEF∽△DEB

∴EF= BE

ED= BE=EF+FD

∴FD= BE- BE= BE.

解析:略

 

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