Question

如圖四邊形ABCD是正方形，M是AB延長線上一點。直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過點D，且直角頂點E在AB邊上滑動（點E不與點A，B重合），另一條直角邊與∠CBM的平分線BF相交于點F。

（1）如圖，當(dāng)點E在AB邊的中點位置時：

①通過測量DE，EF的長度，猜想DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系是        ；

②連接點E與AD邊的中點N，猜想NE與BF滿足的數(shù)量關(guān)系是           ；

③請證明你的上述兩猜想；

（2）如圖，當(dāng)點E在AB邊上的任意位置時，請你在AD邊上找到一點N，使得NE=BF，進(jìn)而猜想并證明此時DE與EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系。

 

 

Answer 1

【答案】

（1）①DE=EF；②NE=BF；③根據(jù)正方形的性質(zhì)及N，E分別為AD，AB的中點可得DN=EB，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)及AN=AE可得∠DNE=∠EBF=135°，再根據(jù)同角的余角相等證得∠NDE=∠BEF，即可證得△DNE≌△EBF，從而證得結(jié)論；（2）DE=EF

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)及N，E分別為AD，AB的中點可得DN=EB，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)及AN=AE可得∠DNE=∠EBF=135°，再根據(jù)同角的余角相等證得∠NDE=∠BEF，即可證得△DNE≌△EBF，從而證得結(jié)論；

（2）在DA邊上截取DN=EB，連結(jié)NE，點N就使得NE=BF成立，由DN=EB可得AN=AE，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°，再根據(jù)同角的余角相等證得∠NDE=∠BEF，即可證得△DNE≌△EBF，從而證得結(jié)論.

（1）①DE=EF；

②NE=BF；

③∵四邊形ABCD是正方形，N，E分別為AD，AB的中點，

∴DN=EB

∵BF平分∠CBM，AN=AE，

∴∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°

∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，

∴∠NDE=∠BEF

∴△DNE≌△EBF

∴DE=EF；

（2）在DA邊上截取DN=EB，連結(jié)NE，點N就使得NE=BF成立，此時，DE="EF"

∵DN="EB"

∴DA-DN="AB-BE" 即AN=AE

∵BF平分∠CBM，AN=AE，

∴∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°

∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，

∴∠NDE=∠BEF

∴△DNE≌△EBF

∴ DE=EF，NE=BF.

考點：動點問題的綜合題

點評：此類問題是初中數(shù)學(xué)的重點和難點，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大.