Question

（2012•平頂山一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10，P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（異于A、B兩點(diǎn)），過點(diǎn)P作PQ⊥AC于Q，以PQ為邊向下作等邊三角形PQR．設(shè)AP=x，△PQR與△ABC重疊部分的面積為y，連接RB．
（1）當(dāng)x=2時(shí)，求y的值；
（2）當(dāng)x取何值時(shí)，四邊形AQRB是等腰梯形；當(dāng)x取何值時(shí)，四邊形PQRB是平行四邊形．

Answer 1

分析：第（1）問比較簡(jiǎn)單，根據(jù)在直角三角形中，30°的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可以直接求出y的值；
第（2）問從特殊四邊形的結(jié)論出發(fā)，去找x的取值，用到了等腰梯形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)以及方程等知識(shí)．

解答：解：（1）∵∠A=30°，∠AQP=90°，
∴QP=

1

2

AP=1．
此時(shí)△PQR在△ABC內(nèi)，y=S_△PQR=

3

4

；

（2）①∵四邊形AQRB是等腰梯形，
∴BR=AQ，∠PBR=∠A=30°．
∵∠APQ=∠RPQ=60°，
∴∠BPR=60°．
又∵PR=PQ，
∴△BPR≌△APQ．
∴BP=AP=

1

2

AB．
∴AP=

1

2

AB=5．
∴當(dāng)x=5時(shí)，四邊形AQRB是等腰梯形．
②要使四邊形PQRB是平行四邊形，則R應(yīng)在BC上．
∵△PQR是等邊三角形，
∴QR=PQ=

1

2

x．
又∵四邊形PQRB是平行四邊形，
∴BP=QR=

1

2

x．
∴AB=x+

1

2

x=10，
解得x=

20

3

．
∴當(dāng)x=

20

3

時(shí)，四邊形PQRB是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)比較多：直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等腰梯形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等．要使四邊形PQRB是平行四邊形，因?yàn)镻Q∥BC，所以R必須在邊BC上．