Question

已知，如圖，點M在x軸上，以點M為圓心，2.5長為半徑的圓交y軸于A、B兩點，交x軸于C（x₁，0）、D（x₂，0）兩點，（x₁＜x₂），x₁、x₂是方程x（2x+1）=（x+2）²的兩根．
（1）求點C、D及點M的坐標；
（2）若直線y=kx+b切⊙M于點A，交x軸于P，求PA的長；
（3）⊙M上是否存在這樣的點Q，使點Q、A、C三點構(gòu)成的三角形與△AOC相似？若存在，請求出點的坐標，并求出過A、C、Q三點的拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）整理把x（2x+1）=（x+2）²并求出方程的解即可得到點C、D的坐標，根據(jù)圓的性質(zhì)，根據(jù)點M是C、D的中點求解即可；
（2）利用勾股定理求出AO的長度，根據(jù)切線求出AM⊥PA，再證明△AOM與△POA相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式即可求出PA的長度；
（3）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠CAD=90°，然后可以證明△AOC與△DAC相似，所以點D就是所要找的點Q，然后利用待定系數(shù)法列式即可求出過A、C、Q三點的拋物線的解析式．

解答：解：（1）x（2x+1）=（x+2）²整理得，x²-3x-4=0，
解得x₁=-1，x₂=4，
∴點C、D的坐標是C（-1，0），D（4，0），

-1+4

2

=1.5，
∴點M的坐標是（1.5，0），
故答案為：C（-1，0），D（4，0），（1.5，0）；

（2）如圖，連接AM，則AM=2.5，
在Rt△AOM中，AO=

AM2-OM2

=

2.52-1.52

=2，
∴點A的坐標是（0，2），
∵PA與⊙M相切，
∴AM⊥PA，
∴∠MAO+∠PAO=90°，
又∵∠AMO+∠MAO，
∴∠AMO=∠PAO，
在△AOM與△POA中，

∠AMO=∠PAO ∠AOM=∠POA=90°

，
∴△AOM∽△POA，
∴

AM

PA

=

OM

AO

，
即

2.5

PA

=

1.5

2

，
解得PA=

10

3

；

（3）存在．
如圖，連接AC、AD，
∴∠CAD=90°，
在△ACO與△DCA中，

∠ACO=∠DCA ∠AOC=∠DAC=90°

，
∴△ACO∽△DCA，
∴存在點Q，與點D重合時，點Q、A、C三點構(gòu)成的三角形與△AOC相似，
此時，設(shè)過點A、C、Q的拋物線是y=ax²+bx+c，
則

a-b+c=0 16a+4b+c=0 c=2

，
解得

a=- 1 2 b= 3 2 c=2

，
∴過A、C、Q三點的拋物線的解析式為：y=-

1

2

x²+

3

2

x+2．

點評：本題是對二次函數(shù)的綜合考查，包括解一元二次方程，相似三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，綜合性較強，難度較大，需要仔細分析研究方能解決．