Question

觀察式子：
（1）x²-1=（x-1）（x+1），∴=______；
（2）x³-1=（x-1）（x²+x+1），∴=______；
（3）x³-1=（x-1），∴；
（4）猜想：xⁿ-1=（x-1），∴=x-1．
如果要計(jì)算2¹⁰-2⁹+…+1的值，你能用一個兩項(xiàng)式表達(dá)2¹⁰-2⁹+…+1的值嗎？

Answer 1

解：（1）x²-1=（x-1）（x+1），∴=x-1；
（2）x³-1=（x-1）（x²+x+1），∴=x-1；
（3）x⁴-1=（x-1）（x³+x²+x+1），∴；
（4）猜想：xⁿ-1=（x-1）（x^n-1+x^n-2+…+x+1），∴=x-1；　　
當(dāng)n=11，x¹¹-1=（x-1）（x¹⁰+x⁹+…+x+1），
令x=-2，則（-2）¹¹-1=[（-2）-1）][（-2）¹⁰+（-2）⁹+…+（-2）+1]=（-3）（2¹⁰-2⁹+…+1），
所以2¹⁰-2⁹+…+1==（2¹¹-1）．
故答案為x-1，x-1．
分析：根據(jù)分式的約分得到（1）=x-1；（2）=x-1；（3）；（4）xⁿ-1=（x-1）（x^n-1+x^n-2+…+x+1），∴=x-1；根據(jù)上面的規(guī)律得到（-2）¹¹-1=[（-2）-1）][（-2）¹⁰+（-2）⁹+…+（-2）+1]=（-3）（2¹⁰-2⁹+…+1），則2¹⁰-2⁹+…+1=（2¹¹-1）．
點(diǎn)評：本題考查了分式的混合運(yùn)算：先把分式的分子或分母因式分解（有括號，先算括號），再進(jìn)行分式的乘除運(yùn)算，然后進(jìn)行分式的加減運(yùn)算．