Question

已知點(diǎn)A（a，b）為雙曲線y=

6

x

（x＞0）圖象上一點(diǎn)．
（1）如圖1所示，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥y軸于D點(diǎn)，點(diǎn)P是x軸任意一點(diǎn)，連接AP．求△APD的面積．
（2）以A（a，b）為直角頂點(diǎn)作等腰Rt△ABC，如圖2所示，其中點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)，若B點(diǎn)的坐標(biāo)為B（-1，0），且a、b都為整數(shù)時(shí)，試求線段BC的長(zhǎng)．
（3）在（2）中，當(dāng)?shù)妊黂t△ABC的直角頂點(diǎn)A（a，b）在雙曲線上移動(dòng)時(shí)，B、C兩點(diǎn)也隨著移動(dòng)，試用含a，b的式子表示C點(diǎn)坐標(biāo)；并證明在移動(dòng)過(guò)程中OC²-OB²的值恒為定值．

Answer 1

（1）由點(diǎn)A（a，b）在反比例函數(shù)y=

6

x

上可得：
ab=6，AD=a，OD=b，
所以S△ABC=

1

2

AD•OD=

1

2

ab=3，

（2）過(guò)A作AE垂直x軸于E點(diǎn)，可得：E（a，0），
則由∠ABE=45°可得△ABE為等腰直角三角形，
∴AE=BE，
E在B右側(cè)且B坐標(biāo)為（-1，0），
∴BE=a-（-1）=a+1，則a+1=b，
又∵ab=6且a、b都為整數(shù)．
∴a只能取2，b為3，
此時(shí)，BE=AE=CE=b=3，
∴BC=BE+CE=6，

（3）由（2）可知：EC=AE=BE=b；且不管點(diǎn)A如何移動(dòng)，總有：OC=OE+EC=a+b，且C總在x軸正半軸，
∴C（a+b，0），
當(dāng)B在y軸左側(cè)時(shí)，如圖2所示，則a＜b，
OB=BE-OE=b-a．
（a+b）²-（b-a）²=a²+2ab+b²-a²+2ab-b²=4ab=4×6=24，
∴OC²-OB²=24，
當(dāng)B在y軸右側(cè)或與原點(diǎn)重合時(shí)，
如圖4所示，則a≥b，
∴OB=OE-BE=a-b，
∴OC²-OB²=（a+b）²-（a-b）²=a²+2ab+b²-a²+2ab-b²=4ab=4×6=24綜上所述：移動(dòng)過(guò)程中OC²-OB²的值恒為24．