Question

如圖，已知△ABC是等邊三角形，點O為是AC的中點，OB=12，動點P在線段AB上從點A向點B以每秒

3

個單位的速度運動，設運動時間為t秒．以點P為頂點，作等邊△PMN，點M，N在直線OB上，取OB的中點D，以OD為邊在△AOB內(nèi)部作如圖所示的矩形ODEF，點E在線段AB上．
（1）求當?shù)冗叀鱌MN的頂點M運動到與點O重合時t的值；
（2）求等邊△PMN的邊長（用t的代數(shù)式表示）；
（3）設等邊△PMN和矩形ODE F重疊部分的面積為S，請求你直接寫出當0≤t≤2秒時S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出對應的自變量t的取值范圍；
（4）點P在運動過程中，是否存在點M，使得△EFM是等腰三角形？若存在，求出對應的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以得出：AB=BC=CD，∠ABC=BAC=60°，再根據(jù)勾股定理的性質(zhì)求出當M到O點時AP的值就可以求出t值．
（2）由AP=

3

t，根據(jù)勾股定理可以求出PG=3t，AG=2

3

t，MG的值，從而可以求出結(jié)論；
（3）分兩種情況進行討論，當0≤t≤1時，如圖1和當1＜t≤2時，如圖2．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和運用勾股定理就可以求出S與t的關(guān)系式；
（4）先求出MN=BN=PN=8-t，MB=16-2t，再分類討論，當FM=EM時，如圖4，M為OD中點，當FM=FE=6時，如圖5，當EF=EM=6時，點M可在OD或DB上，如圖6，如圖7，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)就可以求出t的值．

解答：解：（1）如圖3，∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=CA，∠ABC=BAC=60°．
∵O為AC中點，
∴∠AOP=30°，∠APO=90°，AO=

1

2

AC=

1

2

AB，
∵OB=12，在Rt△AOB中，由勾股定理，得
OA=4

3

，AB=8

3

，
在Rt△AOP中，∵∠AOP=30°，
∴AP=2

3

，
∴t=2

3

÷

3

=2
∴當t=2時，點M與點O重合；
（2）如圖1，∵AP=

3

t，
∴PG=3t，AG=2

3

t，
∴GO=4

3

-2

3

t，
∴MO=4-2t，
∴MG=8-4t，
∴PM=8-t
∴等邊△PMN的邊長為 PM=8-t；
（3）（Ⅰ）當0≤t≤1時，即PM與線段AF相交，如圖1．
作KH⊥PE，
∴∠PHK=90°．
∵△PMN是等邊三角形，
∴∠MPN=∠PMN=60°，
∴∠KPE=∠KEP=30°．
∴KE=2KH．
∵AP=

3

t，
∴PE=4

3

-

3

t，
∴HE=2

3

-

3

2

t，
在Rt△KHE中，由勾股定理，得
KH=2-

1

2

t，KE=4-t，
∴KF=2+t．
∵AP=

3

t，
∴PG=3t，AG=2

3

t，
∴GO=4

3

-2

3

t，
∴MO=4-2t，
∴ON=4+t，
∴S_重疊=

(t+2+4+t)2 3

2

，
=2

3

t+6

3

；                    
（Ⅱ）當1＜t≤2時，如圖2．
由（Ⅰ）得：GO=4

3

-2

3

t，KF=t+2，
∴FG=2

3

t-2

3

，
∴FH=2t-2，
∴S_重疊=

(t+2+4+t)2 3

2

-

(2 3 t-2 3 )(2t-2)

2

=-2

3

t²+6

3

t+4

3

．         
（4）∵MN=BN=PN=8-t，∴MB=16-2t．
①當FM=EM時，如圖4，M為OD中點，
∴OM=3，
由OM+MB=OB得：
3+16-2t=12，
∴t=3.5，

②當FM=FE=6時，如圖5，
∴OM=

62-(2 3 )2

=2

6

，
由OM+MB=12得：
2

6

+16-2 t=12，
∴t=

6

+2．

③當EF=EM=6時，點M可在OD或DB上，如圖6，如圖7，
DM=

62-(2 3 )2

=2

6

，
∴DB+DM=MB，或者 DB-DM=MB
∴6+2

6

=16-2 t 或者6-2

6

=16-2 t
∴t=5-

6

，或者t=5+

6

．
綜上所述，當t=3.5，

6

+2，5-

6

，5+

6

時，△MEF是等腰三角形．

點評：本題是一道關(guān)于等邊三角形的動點問題，考查了等邊三角形的性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，梯形的面積公式的運用，分段函數(shù)的運用，等腰三角形的性質(zhì)的運用．解答本題時靈活運用等腰三角形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵．