Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸的一個交點(diǎn)為A（3，0），與y軸的交點(diǎn)為B（0，3），其頂點(diǎn)為C，對稱軸為x=1．
（1）求拋物線的解析式；
（2）已知點(diǎn)M為y軸上的一個動點(diǎn)，當(dāng)△ABM為等腰三角形時，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）將△AOB沿x軸向右平移m個單位長度（0＜m＜3）得到另一個三角形，將所得的三角形與△ABC重疊部分的面積記為S，用m的代數(shù)式表示S．

Answer 1

（1）y=﹣x²+2x+3
（2）（0，0）、（0，﹣3）、（0，3+3）、（0，3﹣3）
（3）當(dāng)0＜m≤時，S=﹣m²+3m；當(dāng)＜m＜3時，S=m²﹣3m+．

試題分析：（1）根據(jù)對稱軸x=1、與x軸的一個交點(diǎn)為A（3，0）、與y軸的交點(diǎn)為B（0，3）可得關(guān)于a、b、c的方程組，解出即可
（2）分①M(fèi)A=M；②AB=AM；③AB=BM三種情況討論可得點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（3）記平移后的三角形為△PEF．由待定系數(shù)法可得直線AB的解析式為y=﹣x+3．易得直線EF的解析式為y=﹣x+3+m．根據(jù)待定系數(shù)法可得直線AC的解析式．連結(jié)BE，直線BE交AC于G，則G（，3）．在△AOB沿x軸向右平移的過程中．分二種情況：①當(dāng)0＜m≤時；②當(dāng)＜m＜3時；討論可得用m的代數(shù)式表示S．
試題解析：（1）由題意可知，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)均為方程組的解，
故拋物線的解析式為y=﹣x²+2x+3．
（2）①當(dāng)MA=MB時，M（0，0）；
②當(dāng)AB=AM時，M（0，﹣3）；
③當(dāng)AB=BM時，M（0，3+3）或M（0，3﹣3）．
所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（0，0）、（0，﹣3）、（0，3+3）、（0，3﹣3）．
（3）平移后的三角形記為△PEF．
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，則
，
解得．
則直線AB的解析式為y=﹣x+3．
△AOB沿x軸向右平移m個單位長度（0＜m＜3）得到△PEF，
易得直線EF的解析式為y=﹣x+3+m．
設(shè)直線AC的解析式為y=k′x+b′，則
，
解得．
則直線AC的解析式為y=﹣2x+6．
連結(jié)BE，直線BE交AC于G，則G（，3）．
在△AOB沿x軸向右平移的過程中．
①當(dāng)0＜m≤時，如圖1所示．

設(shè)PE交AB于K，EF交AC于M．
則BE=EK=m，PK=PA=3﹣m，
聯(lián)立，
解得，
即點(diǎn)M（3﹣m，2m）．
故S=S_△PEF﹣S_△PAK﹣S_△AFM
=PE²﹣PK²﹣AF•h
=﹣（3﹣m）²﹣m•2m
=﹣m²+3m．
②當(dāng)＜m＜3時，如圖2所示．

設(shè)PE交AB于K，交AC于H．
因?yàn)锽E=m，所以PK=PA=3﹣m，
又因?yàn)橹本�AC的解析式為y=﹣2x+6，
所以當(dāng)x=m時，得y=6﹣2m，
所以點(diǎn)H（m，6﹣2m）．
故S=S_△PAH﹣S_△PAK
=PA•PH﹣PA²
=﹣（3﹣m）•（6﹣2m）﹣（3﹣m）²
=m²﹣3m+．
綜上所述，當(dāng)0＜m≤時，S=﹣m²+3m；當(dāng)＜m＜3時，S=m²﹣3m+．