Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB＝AC，點(diǎn)D在⊙O上，AD⊥AB于點(diǎn)A， AD與 BC交于點(diǎn)E，F(xiàn)在DA的延長(zhǎng)線上，且AF＝AE． (1)求證：BF是⊙O的切線； (2)若AD＝4，，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

(1)見解析(2)

（1）證明：連接BD，
∵AD⊥AB，即∠BAD=90⁰
∴BD是直徑
∵AB=AC則∠ABE=∠ADB
∵AE=AF，∠BAE=∠BAF，AB=AB
∴△BAE≌△BAF，
∴∠ABE=∠ABF，BE=BF，
∴∠ADB=∠ABF，∠AFB+∠ADB=∠AFB+∠ABF=90⁰  
∴∠FBD=90⁰
即BD⊥BF，
∴BF是⊙O的切線
（2）∵在Rt△BAD中，AD＝4，
∴AB=3，BD=5，
∴BF=BE=，AE=，DE=
∵∠DCE=∠BAE，∠DEC=∠BEA
∴△DEC∽△BEA
∴,解得CE=
∴BC=BE+CE=
（1）連接BD，因AD⊥AB，所以BD是直徑．證明BF⊥DB即可．
（2）作AG⊥BC于點(diǎn)G．由（1）中結(jié)論∠D=∠2=∠3，分別把這三個(gè)角轉(zhuǎn)化到直角三角形中，根據(jù)，求相關(guān)線段的長(zhǎng)