Question

先求和

1

2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

(n-1)×n

，思考當(dāng)n越來(lái)越大時(shí)，這個(gè)和趨向一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)是

 

；那么1+

1

1+2

+

1

1+2+3

+…+

1

1+2+3+…+n

的和趨向的一個(gè)數(shù)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：部分分式

專題：規(guī)律型

分析：根據(jù)

1

(n-1)×n

=

1

n-1

-

1

n

于是可以化簡(jiǎn)

1

2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

(n-1)×n

為1-

1

n

，根據(jù)1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，于是可知

1

1+2+3+…+n

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），即可知1+

1

1+2

+

1

1+2+3

+…+

1

1+2+3+…+n

=1+2（1-

1

n+1

），當(dāng)n越來(lái)越大時(shí)，和趨向一個(gè)數(shù)即可求出．

解答：解：∵

1

(n-1)×n

=

1

n-1

-

1

n

，
∴

1

2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

(n-1)×n

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-…+

1

n-1

-

1

n

=1-

1

n

，
當(dāng)n越來(lái)越大時(shí)，這個(gè)和趨向于1，
∵1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，
∴

1

1+2+3+…+n

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴1+

1

1+2

+

1

1+2+3

+…+

1

1+2+3+…+n

=1+2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…-

1

n+1

），
當(dāng)n越來(lái)越大時(shí)，這個(gè)和趨向于3．
故答案為：1，3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查部分分式的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是把題干求和式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，此題難度不大．