Question

【題目】（定義）數(shù)學(xué)課上，陳老師對(duì)我們說(shuō)，如果1條線段將一個(gè)三角形分成2個(gè)等腰三角形，那么這1條線段就稱為這個(gè)三角形的“好線”，如果2條線段將一個(gè)三角形分成3個(gè)等腰三角形，那么這2條線段就稱為這個(gè)三角形的“好好線”．

（理解）如圖①，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，請(qǐng)你在這個(gè)三角形中畫出它的“好線”，并標(biāo)出等腰三角形頂角的度數(shù)．

如圖②，已知△ABC是一個(gè)頂角為45°的等腰三角形，請(qǐng)你在這個(gè)三角形中畫出它的“好好線”，并標(biāo)出所分得的等腰三角形底角的度數(shù)．

（應(yīng)用）

(1)在△ABC中，已知一個(gè)內(nèi)角為42°，若它只有“好線”，請(qǐng)你寫出這個(gè)三角形最大內(nèi)角的所有可能值______；

(2)在△ABC中，∠C＝27°，AD和DE分別是△ABC的“好好線”，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AB邊上，且AD＝DC，BE＝DE，請(qǐng)你根據(jù)題意畫出示意圖，并求∠B的度數(shù)．

Answer 1

【答案】【定義】見(jiàn)解析；【應(yīng)用】(1)84°或103.5°或124°或117°或126°；(2)畫圖見(jiàn)解析；∠B＝42°或18°.

【解析】

【定義】

如圖①，如圖②所示，根據(jù)題意畫出圖形即可；
【應(yīng)用】（1）①如圖③當(dāng)∠B=42°，AD為“好線”，②如圖④當(dāng)∠B=42°，AD為“好線”，③如圖⑤當(dāng)∠ABC=42°時(shí)，BD為“好線”，④如圖⑥，當(dāng)∠B=42°時(shí)，CD為“好線”，⑤如圖⑦，當(dāng)∠B=42°時(shí)，CD為“好線”，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）設(shè)∠B=x°，①當(dāng)AD=DE時(shí)，如圖1（a），②當(dāng)AD=AE時(shí)，如圖1（b），③當(dāng)EA=DE時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)列方程即可得到結(jié)論．

解：(定義)如圖①，如圖②所示，

（應(yīng)用）

(1)①如圖③當(dāng)∠B＝42°，AD為“好線”，

則AD＝AD＝BD，故這個(gè)三角形最大內(nèi)角是∠C＝84°；

②如圖④當(dāng)∠B＝42°，AD為“好線”，

則AB＝AD，AD＝CD，這個(gè)三角形最大內(nèi)角是∠BAC＝103.5°；

③如圖⑤當(dāng)∠ABC＝42°時(shí)，BD為“好線”，

則AD＝BD，CD＝BC，故這個(gè)三角形最大內(nèi)角是∠C＝124°，

④如圖⑥，當(dāng)∠B＝42°時(shí)，CD為“好線”，

則AD＝CD＝BC，故這個(gè)三角形最大內(nèi)角是∠ACB＝117°，

⑤如圖⑦，當(dāng)∠B＝42°時(shí)，CD為“好線”，

則AD＝AC，CD＝BD，故這個(gè)三角形最大內(nèi)角是∠ACB＝126°，

綜上所述，這個(gè)三角形最大內(nèi)角的所有可能值是84°或103.5°或124°或117°或126°，

故答案為：84°或103.5°或124°或117°或126°；

(2)設(shè)∠B＝x°，

①當(dāng)AD＝DE時(shí)，如圖1(a)，

∵AD＝CD，

∴∠C＝∠CAD＝27°，

∵DE＝EB，

∴∠B＝∠EDB＝x°

∴∠AED＝∠DAE＝2x°，

∴27×2+2x+x＝180，

∴x＝42，

∴∠B＝42°；

②當(dāng)AD＝AE時(shí)，如圖1(b)，

∵AD＝CD，

∴∠C＝∠CAD＝27°，

∵DE＝EB，

∴∠B＝∠EDB＝x°

∴∠AED＝∠ADE＝2x°，

∴2x+x＝27+27，

∴x＝18，

∴∠B＝18°．

③當(dāng)EA＝DE時(shí)，

∵90﹣x+27+27+x＝180，

∴x不存在，應(yīng)舍去．

綜合上述：滿足條件的x＝42°或18°．