Question

已知：拋物線y=ax²+4ax+t與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（﹣1，0）。
（1）求拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）D是拋物線與y軸的交點(diǎn)，C是拋物線上的一點(diǎn)，且以AB為一底的梯形ABCD的面積為9，求此拋物線的解析式；（3）E是第二象限內(nèi)到x軸、y軸的距離的比為5：2的點(diǎn)，如果點(diǎn)E在（2）中的拋物線上，且它與點(diǎn)A在此拋物線對稱軸的同側(cè)，問：在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△APE的周長最��？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）依題意，拋物線的對稱軸為x=﹣2， ∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（﹣1，0）， ∴由拋物線的對稱性，可得拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣3，0）； （2）∵拋物線y=ax2+4ax+t與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（﹣1，0） ∴a（﹣1）2+4a（﹣1）+t=0 ∴t=3a ∴y=ax2+4ax+3a ∴D（0，3a） ∴梯形ABCD中，AB∥CD，且點(diǎn)C在拋物線y=ax2+4ax+3a上， ∵C（﹣4，3a） ∴AB=2，CD=4 ∵梯形ABCD的面積為9 ∴（AB+CD）·OD=9 ∴（2+4）|3a|=（AB+CD）·OD=9 ∴a±1 ∴所求拋物線的解析式為y=x2+4x+3或y=﹣x2﹣4x﹣3； （3）設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（x0，y0），依題意，x0＜0，y0＞0，且 ∴y0=﹣x0 ①設(shè)點(diǎn)E在拋物線y=x2+4x+3上， ∴y0=x02+4x0+3 解方程組得， ∵點(diǎn)E與點(diǎn)A在對稱軸x=﹣2的同側(cè) ∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（，）， 設(shè)在拋物線的對稱軸x=﹣2上存在一點(diǎn)P，使△APE的周長最小， ∵AE長為定值， ∴要使△APE的周長最小，只須PA+PE最小 ∴點(diǎn)A關(guān)于對稱軸x=﹣2的對稱點(diǎn)是B（﹣3，0） ∴由幾何知識(shí)可知，P是直線BE與對稱軸x=﹣2的交點(diǎn) 設(shè)過點(diǎn)E、B的直線的解析式為y=mx+n ∴，解得 ∴直線BE的解析式為y=x+ ∴把x=﹣2代入上式，得y= ∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣2，） ②設(shè)點(diǎn)E在拋物線y=﹣x2﹣4x﹣3上 ∴y0=﹣x02﹣4x0﹣3， 解方程組消去y0， 得 ∴△＜0 ∴此方程無實(shí)數(shù)根， 綜上，在拋物線的對稱軸上存在點(diǎn)P（﹣2，），使△APE的周長最小。