Question

（2012•蘭州）若x₁、x₂是關(guān)于一元二次方程ax²+bx+c（a≠0）的兩個(gè)根，則方程的兩個(gè)根x₁、x₂和系數(shù)a、b、c有如下關(guān)系：x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．把它稱為一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系定理．如果設(shè)二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A（x₁，0），B（x₂，0）．利用根與系數(shù)關(guān)系定理可以得到A、B兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為：AB=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(- b a )2- 4c a

=

b2-4ac a2

=

b2-4ac

|a|

；
參考以上定理和結(jié)論，解答下列問(wèn)題：
設(shè)二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0）的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A（x₁，0），B（x₂，0），拋物線的頂點(diǎn)為C，顯然△ABC為等腰三角形．
（1）當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，求b²-4ac的值；
（2）當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，求b²-4ac的值．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，由于AC=BC，所以△ABC為等腰直角三角形，過(guò)C作CE⊥AB于E，則AB=2CE．根據(jù)本題定理和結(jié)論，得到AB=

b2-4ac

|a|

，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，得到CE=|

4ac-b2

4a

|=

b2-4ac

4a

，列出方程，解方程即可求出b²-4ac的值；
（2）當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，解直角△ACE，得CE=

3

AE=

3

2

AB，據(jù)此列出方程，解方程即可求出b²-4ac的值．

解答：解：（1）當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，過(guò)C作CE⊥AB于E，則AB=2CE．
∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴△=b²-4ac＞0，則|b²-4ac|=b²-4ac．
∵a＞0，∴AB=

b2-4ac

|a|

=

b2-4ac

a

，
又∵CE=|

4ac-b2

4a

|=

b2-4ac

4a

，
∴

b2-4ac

a

=2×

b2-4ac

4a

，
∴

b2-4ac

=

b2-4ac

2

，
∴b2-4ac=

(b2-4ac)2

4

，
∵b²-4ac＞0，
∴b²-4ac=4；

（2）當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，
由（1）可知CE=

3

2

AB，
∴

b2-4ac

4a

=

3

2

×

b2-4ac

a

，
∵b²-4ac＞0，
∴b²-4ac=12．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)，拋物線與x軸的交點(diǎn)及根與系數(shù)的關(guān)系定理，綜合性較強(qiáng)，難度中等．