Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于B（－3，0）、C（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)A（0，2），拋物線的頂點(diǎn)為D．連接AB，點(diǎn)E是第二象限內(nèi)的拋物線上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)E作EP⊥BC于點(diǎn)P，交線段AB于點(diǎn)F．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）過點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，Q為線段AC的中點(diǎn)，當(dāng)△EGF周長最大時，在 軸上找一點(diǎn)R，使得|RE－RQ|值最大，請求出R點(diǎn)的坐標(biāo)及|RE－RQ|的最大值；

（3）在（2）的條件下，將△PED繞E點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得△ED′P′，當(dāng)△AP′P是以AP為直角邊的直角三角形時，求點(diǎn)P′的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）E（， ），R（，0），最大值為；（3）P′（， ）或（， ）或（， ）．

【解析】試題分析：（1）把A、B、C的坐標(biāo)代入拋物線解析式，求出a、b、c的值即可得出解析式；

（2）先證△EFG∽△BAO，得，所以當(dāng)EF最大時△EFG周長最大，求出AB的解析式，設(shè)出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，表示出EF的長，求出EF最大時E點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)求法求出點(diǎn)Q坐標(biāo)，表示出EQ的解析式，當(dāng)E、Q、R在同一直線上時|RE－RQ|最大，求出此時R點(diǎn)坐標(biāo)和EQ的長即為答案；

（3）用待定系數(shù)法求出PA的解析式為y＝，

①當(dāng)∠P’PA＝90°時，根據(jù)相互垂直的兩條直線比例系數(shù)互為負(fù)倒數(shù)求出PP’的解析式為y＝，設(shè)P’（x， ），由EP’＝EP列方程求出x的值，即可得出點(diǎn)P’的坐標(biāo)；

②當(dāng)∠PAP’＝90°時，同理求出AP’的解析式，利用前面的方法即可得出點(diǎn)P’的坐標(biāo)．

試題解析：

解：（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（0，2）、B（－3，0）、C（1，0），

∴，

解得： ，

∴拋物線的解析式為：y＝；

（2）∵EG⊥AB，EP⊥OB，

∴∠EGF＝∠FPB＝90°，

∴∠E＋∠EFG＝90°，∠PBF＋∠BFP＝90°，

∵∠EFG＝∠BFP，

∴∠E＝∠PBF，

又∠EGF＝∠AOB，

∴△EFG∽△BAO，

∴，

∵AB是定值，

∴當(dāng)EF最大時△EFG周長最大，

設(shè)AB的解析式為y＝kx＋b，

則有，

解得，

∴AB的解析式為y＝x＋2，

設(shè)E（x， ），則F（x， x＋2）．

∴EF＝()－(x＋2)＝ ＝，

當(dāng)x＝時EF有最大值，

此時E（， ）．

∵Q是AC中點(diǎn)，A（0，2），C（1，0），

∴Q（，1），

EQ的解析式為：y＝，

當(dāng)E、Q、R在同一直線上時|RE－RQ|最大，

令y＝0，則＝0，

x＝，

∴R（，0），

此時|RE－RQ|最大值＝EQ＝＝；

（3）∵EP⊥x軸，E（， ），

∴P（，0），

∵A（0，2），

∴PA的解析式為y＝，

①當(dāng)∠P’PA＝90°時，

設(shè)PP’的解析式為y＝，

把P（，0）代入得b＝，

∴PP’的解析式為y＝，

設(shè)P’（x， ），

∵EP’＝EP，

∴，

解得：x1＝，x2＝（不符合題意，舍去），

＝，

∴P’（ ， ）；

②當(dāng)∠PAP’＝90°時，

同理可得AP’的解析式為：y＝，

設(shè)P’（x， ），

∵EP’＝EP，

∴，

解得：x1＝，x2＝，

當(dāng)x＝時， ＝，

當(dāng)x＝時， ＝，

∴P’（ ， ）或（， ）．

綜上P’ （， ）或（ ， ）或（， ）．