Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（﹣4，0），B（1，0），且以AB為直徑的圓交y軸的正半軸于點C（0，2），過點C作圓的切線交x軸于點D．

（1）求過A，B，C三點的拋物線的解析式；
（2）求點D的坐標(biāo)；
（3）設(shè)平行于x軸的直線交拋物線于E，F(xiàn)兩點，問：是否存在以線段EF為直徑的圓，恰好與x軸相切？若存在，求出該圓的半徑；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令二次函數(shù)y=ax2+bx+c，

則 ，

∴ ，

∴過A，B，C三點的拋物線的解析式為y=﹣ x2﹣ x+2

（2）

解：以AB為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為O′（﹣ ，0），

∴O′C= ，

OO′= ；

∵CD為⊙O′切線

∴O′C⊥CD，

∴∠O′CO+∠OCD=90°，∠CO'O+∠O'CO=90°，

∴∠CO'O=∠DCO，

∴△O'CO∽△CDO，

∴ = ，即 = ，

∴OD= ，

∴D坐標(biāo)為（ ，0）

（3）

解：存在，

拋物線對稱軸為x=﹣ ，

設(shè)滿足條件的圓的半徑為r，則E的坐標(biāo)為（﹣ +r，|r|）或F（﹣ ﹣r，r），

而E點在拋物線y=﹣ x2﹣ x+2上，

∴r=﹣ （﹣ +r）2﹣ （﹣ +r）+2；

∴r1=﹣1+ ，r2=﹣1﹣ （舍去）；

故以EF為直徑的圓，恰好與x軸相切，該圓的半徑為

【解析】（1）已知了拋物線過A，B，C三點，可根據(jù)三點的坐標(biāo)用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．（2）由于CD是圓的切線，設(shè)圓心為O′，可連接O′C，在直角三角形O′CD中科根據(jù)射影定理求出OD的長，即可得出D的坐標(biāo)．（3）可假設(shè)存在這樣的點E、F，設(shè)以線段EF為直徑的圓的半徑為|r|，那么可用半徑|r|表示出E，F(xiàn)兩點的坐標(biāo)，然后根據(jù)E，F(xiàn)在拋物線上，將E，F(xiàn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，可得出關(guān)于|r|的方程，如果方程無解則說明不存在這樣的E，F(xiàn)點，如果方程有解，可用得出的r的值求出E，F(xiàn)兩點的坐標(biāo)．
【考點精析】本題主要考查了切線的性質(zhì)定理和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．