Question

【題目】類比探究：

（1）如圖1，等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，若AP＝8，BP＝15，CP＝17，求∠APB的大��；（提示：將△ABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP′處）

（2）如圖2，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F為BC上的點(diǎn)，且∠EAF＝45°．求證：EF2＝BE2+FC2；

（3）如圖3，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，點(diǎn)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AO、BO、CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，若AC＝1，求OA+OB+OC的值．

Answer 1

【答案】（1）150°；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)△APB繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACP′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換前后的兩個(gè)三角形全等，全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等以及等邊三角形的判定和勾股定理逆定理即可得到結(jié)論；
（2）把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE′=AE，CE′=CE，∠CAE′=∠BAE，∠ACE′=∠B，∠EAE′=90°，再求出∠E′AF=45°，從而得到∠EAF=∠E′AF，然后利用“邊角邊”證明△EAF和△E′AF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得E′F=EF，再利用勾股定理列式即可得證；
（3）將△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△A′O′B處，連接OO′，根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AB=2AC，即A′B的長(zhǎng)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出△BOO′是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得BO=OO′，等邊三角形三個(gè)角都是60°求出∠BOO′=∠BO′O=60°，然后求出C、O、A′、O′四點(diǎn)共線，再利用勾股定理列式求出A′C，從而得到OA+OB+OC=A′C．

解：（1）如圖1，將△APB繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACP′，

∴△ACP′≌△ABP，

∴AP′＝AP＝8、CP′＝BP＝15、∠AP′C＝∠APB，

由題意知旋轉(zhuǎn)角∠PA P′＝60°，

∴△AP P′為等邊三角形，

∴P P′＝AP＝8，∠A P′P＝60°，

∵PP′2+P′C2＝82+152＝172＝PC2，

∴∠PP′C＝90°，

∴∠APB＝∠AP′C＝∠A P′P+∠P P′C＝60°+90°＝150°

（2）如圖2，把△ABE繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE′，

則AE′＝AE，CE′＝CE，∠CAE′＝∠BAE，

∵∠BAC＝90°，∠EAF＝45°，

∴∠BAE+∠CAF＝∠CAF+∠CAE′＝∠FAE′＝45°，

∴∠EAF＝∠E′AF，且AE＝AE'，AF＝AF，

∴△AEF≌△AE′F（SAS），

∴EF＝E′F，

∵∠B+∠ACB＝90°，

∴∠ACB+∠ACE′＝90°，

∴∠FCE′＝90°，

∴E′F2＝CF2+CE′2，

∴EF2＝BE2+CF2；

（3）如圖3，將△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△A′O′B處，連接OO′，

∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，

∴AB＝2，

∴

∵△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，

∴△A′O′B如圖所示；

∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，

∵∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，

∴AB＝2AC＝2，

∵△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△A′O′B，

∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，

∴△BOO′是等邊三角形，

∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，

∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，

∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BO′O＝120°+60°＝180°，

∴C、O、A′、O′四點(diǎn)共線，

在Rt△A′BC中，，

∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝．