Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，已知A（5，4），B（10，4）：
（1）求點C、D的坐標(biāo)；
（2）若一次函數(shù)y=kx+3（k≠0）的圖象過C點，求k的值；
（3）在（2）的條件下，①若將直線l：y=kx+3向下平移a個單位，將正方形分為上下兩部分的面積比為7：3，試求出a的值；②若將直線l：y=kx+3平移后與以A為圓心，AC為半徑的圓相切，直接寫出平移后的直線的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)A、B的坐標(biāo)，即可得到正方形的邊長，進而可根據(jù)A、B的坐標(biāo)，得到C、D的坐標(biāo)．
（2）將C點坐標(biāo)代入所求的直線解析式中，即可求得k的值．
（3）①此題要分兩種情況進行討論：
1）平移后的直線l與線段AD、BC相交，可先設(shè)出平移后的直線l解析式，將A、B橫坐標(biāo)分別代入該直線的解析式中，即可得到此直線與AD和BC的交點（設(shè)為M、N），進而可求出梯形MABN（或△ABN）的面積，由于直線將梯形分成7：3的兩部分，那么梯形MABN的面積為：25×

3

10

，可據(jù)此列出關(guān)于a的等量關(guān)系式，進而求得a的值；
2）平移后的直線l于線段AB、BC相交，解法同1）．
②首先設(shè)出平移后的直線解析式，若此直線與⊙A相切，易得⊙A的半徑為5

2

，則點A到此直線的距離為5

2

，利用點到直線的距離公式，即可求出該平移的距離，由此得解．

解答：解：（1）已知A（5，4），B（10，4），則AB=5，即正方形的邊長為5；
故C（10，9），D（5，9）．

（2）將點C（10，9）代入直線l的解析式中，
得：10k+3=9，
即k=

3

5

．

（3）①設(shè)平移后的直線l′：y=

3

5

x+3-a（a＞0）；
1）當(dāng)直線l′與線段AD、BC相交時，
設(shè)交點分別為M、N，則M（5，6-a），N（10，9-a）；
故MA=2-a，NB=5-a；
由題意得：S_梯形MABN=

1

2

（2-a+5-a）×5=25×

3

10

，
解得a=2；
2）當(dāng)直線l′與線段AB、BC相交時，同1）可求得a=2；
綜上可知：a=2．
②設(shè)平移后的直線l″：y=

3

5

x+3+b，即

3

5

x-y+3+b=0；
易知AC=5

2

，A（5，4）；
由題意得：

| 3 5 ×5-4+3+b|

( 3 5 )2+1

=5

2

；
解得b=±2

17

-2；
故平移后的直線解析式為：y=

3

5

x+1-2

17

或y=

3

5

x+1+2

17

．

點評：此題主要考查了正方形的性質(zhì)、圖形面積的求法、函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象的平移、直線與圓的位置關(guān)系等重要知識，難度較大．