Question

【題目】如圖，已知一次函數(shù)y=-x+7與正比例函數(shù)y=x的圖像交于點(diǎn)A，且與x軸交于點(diǎn)B.

（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）過點(diǎn)A作AC⊥y軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作直線l∥y軸．動點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長的速度，沿O—C—A的路線向點(diǎn)A運(yùn)動；同時(shí)直線l從點(diǎn)B出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移過程中，直線l交x軸于點(diǎn)R，交線段BA或線段AO于點(diǎn)Q．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P和直線l都停止運(yùn)動．在運(yùn)動過程中，設(shè)動點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間為t秒.

①當(dāng)t為何值時(shí)，以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8？

②是否存在以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）B(7,0);（2）①8；②

【解析】

(1)解方程組求圖象交點(diǎn)；（2）結(jié)合三角函數(shù)，根據(jù)等腰三角形判定求出點(diǎn)的坐標(biāo).

（1）解：根據(jù)題意得,解得 ,

∴A（3,4）

令y=0,得x=7.

∴B（7,0）

（2） 當(dāng)P在OC上運(yùn)動時(shí),0≤t＜4

由S△APR=S四邊形COBA-S△ACP-S△POR-S△ARB=8得t2-8t+12=0,

解得：t=2,t=6(舍)

當(dāng)點(diǎn)P在CA上運(yùn)動時(shí), 4≤t＜7

由S△APR==8,得t=3,（舍）

∴當(dāng)t=2時(shí),以A,P,R為頂點(diǎn)的三角形的面積是8

當(dāng)P在OC上運(yùn)動時(shí),0≤t＜4

∴AP=,AQ=(4-t),PQ=7-t,

當(dāng)AP=AQ時(shí), =(4-t),解得t=1或t=7(舍),

當(dāng)AP=PQ時(shí), =7-t,解得t=4(舍),

當(dāng)PQ=AQ時(shí), 7-t=(4-t),解得t=1±(舍),

當(dāng)點(diǎn)P在CA上運(yùn)動時(shí), 4≤t＜7,過點(diǎn)A作AD⊥OB于D,則AD=BD=4,

設(shè)直線l交AC于E,則QE⊥AC,AE=RD=t-4,AP=7-t

由cos∠OAC=,得AQ=

當(dāng)AP=AQ時(shí),7-t=,解得t= ,

當(dāng)PQ=AQ時(shí),AE=PE,即AE=AP,t-4=(7-t),解得t=5,

當(dāng)AP=PQ時(shí),過點(diǎn)P作PF⊥AQ于F

AF=AQ=×,在Rt△APF中,由cos∠PAF=,得AF=AP,即

×=×（7-t）,解得t=

綜上,當(dāng)t=1或或5或時(shí),△APQ是等腰三角形.