Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=，BC=9，點(diǎn)P是邊CD上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)C、點(diǎn)D重合），過點(diǎn)P作直線PQ∥AC，交AD邊于點(diǎn)Q，再把△DPQ沿著動(dòng)直線PQ對(duì)折，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E，設(shè)DP的長度為x，△EPQ與矩形ABCD重疊部分的面積為y．
（1）求∠DQP的度數(shù)；
（2）當(dāng)x取何值時(shí)，點(diǎn)E落在矩形ABCD的邊BC上？
（3）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

解：（1）∵PQ∥AC，
∴∠DQP=∠DAC，
∵矩形ABCD，
∴AB=CD=，AD=BC=9，∠D=90°，
Rt△ADC中，tan∠DAC=，
∴∠DAC=30°，
∴∠DQP=30°；

（2）如圖，由折疊得△DPQ≌△EPQ，
∴∠DPQ=∠EPQ，PD=PE=x，
∵∠DQP=30°，∠D=90°，
∴∠DPQ=∠EPQ=60°，
∴∠EPC=60°，
Rt△PEC中，PE=x，∠EPC=60°，
∴PC=PE=，
∴，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)E落在矩形ABCD的邊BC上；

（3）當(dāng)0＜x≤時(shí)，點(diǎn)E落在矩形ABCD的內(nèi)部或BC邊上，
△EPQ與矩形ABCD重疊部分為△EPQ，
∴y=S_△EPQ=S_△DPQ=，
當(dāng)＜x＜時(shí)，點(diǎn)E落在矩形ABCD的外部，
∵，
∴，，，
∴y=S_△EPQ-S_△EMN=，
=，
（0＜x≤）（＜x＜），
=，
∴y=．
分析：（1）利用PQ∥AC，Rt△ADC中，tan∠DAC=，從而求出角度，
（2）由折疊得△DPQ≌△EPQ，PE=x，PC=PE=，再求出x，
（3）利用三角形面積之間的關(guān)系求出．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圖形的折疊問題，以及三角函數(shù)值問題和求函數(shù)解析式問題，綜合性較強(qiáng)．