Question

【題目】 問題：如圖1，在四邊形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，AC=，BC=2，求CD的長．

（1）發(fā)現(xiàn)：張強(qiáng)同學(xué)解決這個(gè)問題的思路是：將△BCD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△AED處，點(diǎn)B，C分別落在點(diǎn)A，E處（如圖2），易證點(diǎn)C，A，E在同一條直線上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE=CD，從而得到了AC，BC，CD三條線段之間的關(guān)系為：AC+BC=CD，從而求出CD的長是______ ；

（2）應(yīng)用：如圖3，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，且，若AB=5，BC=4，求CD的長；

（3）拓展：如圖4，∠ACB=90°，AC=BC=2，點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，若點(diǎn)E滿足CE=CA，點(diǎn)Q為AE的中點(diǎn)，直接寫出線段PQ的長是______．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）CD=；（3）．

【解析】

（1）代入結(jié)論：AC+BC=CD，直接計(jì)算即可；

（2）如圖，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角得：∠ADB=∠ACB=90°，由弧相等可知所對(duì)的弦相等，得到滿足圖1的條件，所以AC+BC=CD，代入可得CD的長；

（3）根據(jù)題意可知，可求出AQ長，則利用（1）的結(jié)論進(jìn)行解答．

解：（1）由題意知：AC+BC=CD，

∴+2=CD，

∴CD=3；

故答案為：3；

（2）如圖1，連接AC、BD、AD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=∠ACB=90°，

∵，

∴AD=BD，

∵AB=5，BC=4，

∴由勾股定理得：AC==3，

∵AC+BC=CD，

即：3+4=CD，

∴CD=；

（3）如圖2，

∵AC=BC，∠ACB=90°，

點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，

∴AP=CP，∠APC=90°，

又∵CA=CE，點(diǎn)Q是AE的中點(diǎn)，

∴∠CQA=90°，

∵AC=BC=2，

∵AE=，

∴AE=1，

∴AQ=，

由勾股定理可求得：CQ=，

由（1）的結(jié)論可知：AQ+CQ=PQ，

∴，

∴．

故答案為：．