Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過A（0，4），B（2，0），C（-2，0）三點(diǎn)．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）在x軸上有一點(diǎn)D（-4，0），將二次函數(shù)的圖象沿射線DA方向平移，使圖象再次經(jīng)過點(diǎn)B．

①求平移后圖象頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；

②直接寫出此二次函數(shù)的圖象在A，B兩點(diǎn)之間（含A，B兩點(diǎn)）的曲線部分在平移過程中所掃過的面積．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+4；（2）①E（5，9）；②30.

【解析】

（1）待定系數(shù)法即可解題,

（2）①求出直線DA的解析式,根據(jù)頂點(diǎn)E在直線DA上，設(shè)出E的坐標(biāo),帶入即可求解；②AB掃過的面積是平行四邊形ABGE,根據(jù)S四邊形ABGE＝S矩形IOKH﹣S△AOB﹣S△AEI﹣S△EHG﹣S△GBK,求出點(diǎn)B（2，0）,G（7，5），A（0，4），E（5，9），根據(jù)坐標(biāo)幾何含義即可解題.

解：（1）∵A（0，4），B（2，0），C（﹣2，0）

∴二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為A（0，4），

∴設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為y＝ax2+4，

將B（2，0）代入，得4a+4＝0，

解得，a＝﹣1，

∴二次函數(shù)表達(dá)式y＝﹣x2+4；

（2）①設(shè)直線DA：y＝kx+b（k≠0），

將A（0，4），D（﹣4，0）代入，得 ，

解得， ，

∴直線DA：y＝x+4，

由題意可知，平移后的拋物線的頂點(diǎn)E在直線DA上，

∴設(shè)頂點(diǎn)E（m，m+4），

∴平移后的拋物線表達(dá)式為y＝﹣（x﹣m）2+m+4，

又∵平移后的拋物線過點(diǎn)B（2，0），

∴將其代入得，﹣（2﹣m）2+m+4＝0，

解得，m1＝5，m2＝0（不合題意，舍去），

∴頂點(diǎn)E（5，9），

②如圖，連接AB，過點(diǎn)B作BL∥AD交平移后的拋物線于點(diǎn)G，連結(jié)EG，

∴四邊形ABGE的面積就是圖象A，B兩點(diǎn)間的部分掃過的面積，

過點(diǎn)G作GK⊥x軸于點(diǎn)K，過點(diǎn)E作EI⊥y軸于點(diǎn)I，直線EI，GK交于點(diǎn)H．

由點(diǎn)A（0，4）平移至點(diǎn)E（5，9），可知點(diǎn)B先向右平移5個(gè)單位，再向上平移5個(gè)單位至點(diǎn)G．

∵B（2，0），∴點(diǎn)G（7，5），

∴GK＝5，OB＝2，OK＝7，

∴BK＝OK﹣OB＝7﹣2＝5，

∵A（0，4），E（5，9），

∴AI＝9﹣4＝5，EI＝5，

∴EH＝7﹣5＝2，HG＝9﹣5＝4，

∴S四邊形ABGE＝S矩形IOKH﹣S△AOB﹣S△AEI﹣S△EHG﹣S△GBK

＝7×9﹣×2×4﹣×5×5﹣×2×4﹣×5×5

＝63﹣8﹣25

＝30

答：圖象A，B兩點(diǎn)間的部分掃過的面積為30．