Question

（本題滿分10分）如圖，二次函數(shù)y＝－x2＋nx＋n2－9（n為常數(shù)）的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)和x軸上另一點(diǎn)A，頂點(diǎn)在第一象限．

(1)求n的值和點(diǎn)A坐標(biāo)；

(2)已知一次函數(shù)y＝－2x＋b(b >0)分別交x軸、y軸于M、N兩點(diǎn)．點(diǎn)P是二次函數(shù)圖像的y軸右側(cè)部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若PN⊥NM于N點(diǎn)，且△PMN與△OMN相似，求點(diǎn)P坐標(biāo)．

Answer 1

(1)、A(3,0)；(2)、P(，)和P(2,2)

【解析】

試題分析：(1)、將點(diǎn)(0,0)代入求出n的值，從而得到函數(shù)解析式，得出點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)、首先求出M和N的坐標(biāo)，然后分兩種情況進(jìn)行討論得到答案.

試題解析：(1)、∵圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn) ∴－9=0 ∴n=3或－3

∵頂點(diǎn)在第一象限 ∴n=3 ∴y=－+3x ∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0)

、過P作PB⊥y軸于B，設(shè)P(x，－+3x) ∵PN⊥MN ∠NOM=90° ∴要使△PMN與△OMN相似

則分兩種情況：①、△PMN∽△MNO ②、△PMN∽△NMO

∵一次函數(shù)y=－2x+b分別交x軸、y軸于點(diǎn)M、N

∴OM= ON=b ∴

①、當(dāng)△PMN∽△MNO(如圖1)，得 ∵PN⊥NM，PB⊥y軸

∴△PNB∽△MNO ∴

∴x=，x=0(舍去) ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)

②、當(dāng)△PMN∽△NMO時(shí)(如圖2)，得： 解法同上，得x=2，x=0(舍去)

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,2)

綜上所述：滿足條件的點(diǎn)有2個(gè)：P(，)和P(2,2).

考點(diǎn)：三角形相似的應(yīng)用、求二次函數(shù)解析式.