Question

【題目】如圖1，拋物線y＝x2﹣3與x軸交于AB兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC．點(diǎn)Q是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，過Q作直線l∥x軸，直線1與∠BAC的平分線交于點(diǎn)M，與∠CAx的平分線交于點(diǎn)N．

（1）P是直線AC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PC，當(dāng)△PAC的面積最大時(shí)，求PQ+AM的最小值；

（2）如圖2，連接MC，NC，當(dāng)四邊形AMCN為矩形時(shí)，將△AMN沿著直線AC平移得到△A'M'N'，邊A'M'所在的直線與y軸交于D點(diǎn)，若△DM'N'為等腰三角形時(shí)，求OD的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2） OD的長為2或6或.

【解析】

（1）用割補(bǔ)法求得△PAC面積的表達(dá)式，獲得點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用30°構(gòu)造AM為斜邊的直角三角形，轉(zhuǎn)換AM的關(guān)系，可證點(diǎn)P到x軸的距離即為PQ+AM的最小值；
（2）當(dāng)四邊形AMCN為矩形時(shí)，根據(jù)矩形的性質(zhì)點(diǎn)Q為AC與MN的中點(diǎn)，△AMN的三邊長度固定，當(dāng)△DM'N'為等腰三角形時(shí)，以D、M'、N'為頂點(diǎn)分三類進(jìn)行討論，以線段相等作方程，求得OD的長．

解：（1）由已知可得

設(shè)P（m，m2﹣3）

S△PAC＝S△POC+S△AOP﹣S△AOC＝

當(dāng)m＝時(shí)，△PAC的面積有最大值，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)

如圖，作AH⊥MN，

AH＝AM

AH長為點(diǎn)Q到x軸的距離

PQ+AM＝PQ+AH＝

（2）當(dāng)四邊形AMCN為矩形時(shí)，MN＝AC，點(diǎn)Q為AC與MN中點(diǎn)

有題意可知，直線AC的解析式l1為y＝x﹣3

過點(diǎn)M與AC平行的直線解析式l2為y＝x

過點(diǎn)N與AC平行的直線解析式l3為y＝x﹣6

直線AM的解析式l4為

設(shè)點(diǎn)N'（n， n﹣6），M'（n﹣2， n﹣6）

設(shè)直線A'M'的解析式為

將點(diǎn)M'代入可得

直線A'M'的解析式為

則

①當(dāng)DM'＝DN'時(shí)，DM'2＝DN'2

解得n＝

OD＝2

②當(dāng)DM'＝M'N'時(shí)，DM'2＝M'N'2

解得n＝0或3

OD＝6或0

③當(dāng)DN'＝M'N'時(shí)，DN'2＝M'N'2

解得n＝±3

OD＝2

綜上所述，OD的長為2或6或2